Trapez, pola trojkątów

Kombajnista · Post autor: **Kombajnista** » 12 maja 2008, o 12:33

Pole trapezu jest równe P, a stosunek długosci podstaw trapezu wynosi 2. Przekątne dzielą ten trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.

Ptaq666 · Post autor: **Ptaq666** » 12 maja 2008, o 13:16

\(\displaystyle{ P_{1} = \frac{4}{9}P \\ P_{2} = \frac{1}{9}P \\ P_{3} = P_{4} = \frac{2}{9}P}\)

Z porównania pól i twierdzenia talesa.

Kombajnista · Post autor: **Kombajnista** » 12 maja 2008, o 20:09

Mozna krok po kroku? Bo jak ja rozwiazuje to mi wychodzi inaczej. Ale mój wynik jest zly (sprawdzałem w odpowiedziach) i dlatego prosiłbym troszeczke rozwinąć

Ptaq666 · Post autor: **Ptaq666** » 12 maja 2008, o 20:35

No dobra. Mamy trapez ABCD o polu P. Niech AB = b = dłuższa podstawa, oraz CD = a = krótsza podstawa. Z zadania wiemy, że b = 2a. Rysujemy przekątną AC, która dzieli nam trapez na 2 trójkąty - jeden o podstawie a, drugi o podstawie b. Mają one tą samą wysokość, więc bardzo łatwo wyliczyć ich pola. 1/3P oraz 2/3P. Teraz narysuj drugą przkątną( BD), i spójrz na środkowe, podobne do siebie trójkąty - o podstawie a i o podstawie b. Stosunek ich wysokości jest równy stosunkowi ich podstaw, więc bardzo łatwo wyznaczyć ich pola. Niech punkt przecięcia się przekątnych będzie E, h niech będzie wysokością trapezu, to wtedy (pamiętając, że b=2a)

\(\displaystyle{ P_{ABE} = \frac{2}{3}h*\frac{2a}{2} = \frac{2}{3}ah = \frac{4}{9} (\frac{3}{2}ah) = \frac{4}{9}P}\)

3/2ah to pole całego trapezu jak by co

Analogicznie liczysz ten mniejszy trójkącik - o podstawie a i wysokości 1/3h i przyrównujesz go do całego pola trapezu. Potem żeby policzyć pole trójkąta BCE wystarczy odjąć pole ABE od pola ABC i analogicznie postępujesz dla trójkącika AED.

Kombajnista · Post autor: **Kombajnista** » 12 maja 2008, o 21:58

Dzieki ogromne! Nie bardzo wiedziałem jak sie do tego zabrac a dostałem zadanie rozłozone na kawałki;) Dzięki. Pozdrawiam