Dany jest równoboczny trójkąt ABC, w którym bok ma długość a. Na odcinkach AB,
BC i AC obrano odpowiednio punkty C1, A1, B1 tak, że
AC1 : C1B = BA1 : A1C = CB1 : B1A = 1 : 2
a) Obliczyć tangens kąta ACC1.
b) Obliczyć stosunek promieni okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie C1BC.
stosunek i tg
-
wojtek6214
- Użytkownik
- Posty: 735
- Rejestracja: 28 gru 2007, o 20:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 187 razy
- Pomógł: 1 raz
stosunek i tg
a)
Szukany kąt oznaczam jako alfa
Narysuj sobie rysunek i poprowadź odcinek od wierzchołka C do punktu C1
I masz trójkąt \(\displaystyle{ ACC _{1}}\) w którym kąt przy wierzchołku A wynosi 60 stopni
Teraz poprowadzasz wysokość z wierzchołka C, która dzieli bok AB w załóżmy punkcie D na dwa jednakowe odcinki równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2}a}\) Teraz obliczasz długość \(\displaystyle{ CC _{1}}\) z tw.pitagorasa w trójkącie \(\displaystyle{ CDC _{1}}\)
|\(\displaystyle{ CC _{1}}\)|\(\displaystyle{ = \frac{2 \sqrt{7} }{6} a}\)
Na szybkiego obliczałem to nie wiem czy sie nie pomyliłem
I teraz z tw.sinusów , że
\(\displaystyle{ \frac{CC _{1}}{sin60} = \frac{AC _{1} }{sin a }}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{2 \sqrt{7} }{6} a}{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } =\frac{ \frac{1}{3}a }{sin a }}\)
Tutaj wyznacz sinusa alfa
Teraz z tw. cosinusów, że
\(\displaystyle{ (AC _{1} )^{2} =( AC )^{2} + (CC _{1}) ^{2} - 2( AC ) (CC _{1}) cos a}\)
\(\displaystyle{ (\frac{1}{3} a) ^{2} = a ^{2} + (\frac{2 \sqrt{7} }{6} a) ^{2} - 2a\frac{2 \sqrt{7}}{6} a cos a}\)
No i z tego wyznaczysz cos a , a wiemy , że
\(\displaystyle{ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a}}\)
No i podstawiasz coś może uprościć się da
[ Dodano: 11 Maj 2008, 22:47 ]
b)
R obliczamy z tw. sinusów:
\(\displaystyle{ \frac{CC _{1}}{sin 60} = 2R}\)
Wszystko masz dane wyznaczasz R
Zaś r obliczasz ze wzoru:
\(\displaystyle{ P=pr}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{ \sqrt{3} }{4} a ^{2}}\)
\(\displaystyle{ p= \frac{3}{2} a}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{4} a ^{2}= \frac{3}{2} a r}\)
I wyznaczasz r i obliczasz \(\displaystyle{ \frac{r}{R}}\)
pozdrawiam
[ Dodano: 13 Maj 2008, 14:28 ]
P.S. Jeśli ktoś Ci pomógł rozwiązać zadanie , najlepszą metodą by się odwdzięczyć jest kliknięcie pomógł i dodanie punktu owej osobie
Pozdrawiam
[ Dodano: 13 Maj 2008, 14:48 ]
P.S. Jeśli ktoś Ci pomógł rozwiązać zadanie , najlepszą metodą by się odwdzięczyć jest kliknięcie pomógł i dodanie punktu owej osobie
Pozdrawiam
Szukany kąt oznaczam jako alfa
Narysuj sobie rysunek i poprowadź odcinek od wierzchołka C do punktu C1
I masz trójkąt \(\displaystyle{ ACC _{1}}\) w którym kąt przy wierzchołku A wynosi 60 stopni
Teraz poprowadzasz wysokość z wierzchołka C, która dzieli bok AB w załóżmy punkcie D na dwa jednakowe odcinki równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2}a}\) Teraz obliczasz długość \(\displaystyle{ CC _{1}}\) z tw.pitagorasa w trójkącie \(\displaystyle{ CDC _{1}}\)
|\(\displaystyle{ CC _{1}}\)|\(\displaystyle{ = \frac{2 \sqrt{7} }{6} a}\)
Na szybkiego obliczałem to nie wiem czy sie nie pomyliłem
I teraz z tw.sinusów , że
\(\displaystyle{ \frac{CC _{1}}{sin60} = \frac{AC _{1} }{sin a }}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{2 \sqrt{7} }{6} a}{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } =\frac{ \frac{1}{3}a }{sin a }}\)
Tutaj wyznacz sinusa alfa
Teraz z tw. cosinusów, że
\(\displaystyle{ (AC _{1} )^{2} =( AC )^{2} + (CC _{1}) ^{2} - 2( AC ) (CC _{1}) cos a}\)
\(\displaystyle{ (\frac{1}{3} a) ^{2} = a ^{2} + (\frac{2 \sqrt{7} }{6} a) ^{2} - 2a\frac{2 \sqrt{7}}{6} a cos a}\)
No i z tego wyznaczysz cos a , a wiemy , że
\(\displaystyle{ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a}}\)
No i podstawiasz coś może uprościć się da
[ Dodano: 11 Maj 2008, 22:47 ]
b)
R obliczamy z tw. sinusów:
\(\displaystyle{ \frac{CC _{1}}{sin 60} = 2R}\)
Wszystko masz dane wyznaczasz R
Zaś r obliczasz ze wzoru:
\(\displaystyle{ P=pr}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{ \sqrt{3} }{4} a ^{2}}\)
\(\displaystyle{ p= \frac{3}{2} a}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{4} a ^{2}= \frac{3}{2} a r}\)
I wyznaczasz r i obliczasz \(\displaystyle{ \frac{r}{R}}\)
pozdrawiam
[ Dodano: 13 Maj 2008, 14:28 ]
P.S. Jeśli ktoś Ci pomógł rozwiązać zadanie , najlepszą metodą by się odwdzięczyć jest kliknięcie pomógł i dodanie punktu owej osobie
Pozdrawiam
[ Dodano: 13 Maj 2008, 14:48 ]
P.S. Jeśli ktoś Ci pomógł rozwiązać zadanie , najlepszą metodą by się odwdzięczyć jest kliknięcie pomógł i dodanie punktu owej osobie
Pozdrawiam