Ciekawe zadanie z trójkątem i okręgami?

[bedroszek]

W trójkącie ABC dane są długości boków |AC|=9, |BC|=7. Wiadomo też, że miara kąta ABC jest dwa razy większa od miary kąta BAC. Oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt do długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Odpowiedź książkowa: \(\displaystyle{ \frac{115}{343}}\)

Początkowy mój pomysł był następujący, jednak nie wiem czy można zastosować tak jak wykożystałem własność: \(\displaystyle{ \sin 2\alpha=2 sin\alpha*cos\alpha}\)

Skorzystałem z tw. sinusów: \(\displaystyle{ \frac{7}{sin\alpha}= \frac{9}{sin2\alpha}}\) Podstawiając za \(\displaystyle{ sin2\alpha}\): \(\displaystyle{ 2 sin\alpha*cos\alpha}\) można byłoby policzyć \(\displaystyle{ cos\alpha}\), jednak nie jestem pewien czy tak można to policzyć, gdyż niestety nie wychodzi mi właściwy wynik?

Bardzo bym prosił o jakiekolwiek wskazówki lub rozwiązania.

Serdecznie pozdrawiam

[klaustrofob]

równanie jest dobre, kosinus = 9/14. sprawdź pozostałe rachunki

[bedroszek]

Z jednyki trygonometrycznej można obliczyć sinus: \(\displaystyle{ sin\alpha= \frac{ \sqrt{115} }{14}}\)
z tw. sinusów \(\displaystyle{ R= \frac{7}{2sin\alpha}}\) czyli \(\displaystyle{ R= \frac{49}{ \sqrt{115} }}\)

Trzeba jeszcze policzyć r jednak tego już nie mam...

[klaustrofob]

wyznacz trzeci bok - np. z tw. kosinusów. wyznacz r ze wzoru: pole tr.= r*(połowa_obwodu)

[bedroszek]

\(\displaystyle{ 7^{2}=9 ^{2}+ a^{2}-18a* \frac{9}{14}}\)
Wychodzi równanie kwadratowe i 2 różne a, licząc pole ze wzoru Herona a potem r nie wychodzi stosunek taki ja ma wyjść...

[klaustrofob]

to jeszcze taki wariant sprawdzenia: \(\displaystyle{ c=9\cdot\cos\alpha+7\cdot\cos 2\alpha}\). mając c obliczasz pole bez Herona: \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot c\cdot\sin\alpha}\). jeżeli wyniki zgadzają się z poprzednimi obliczeniami, to znaczy, że w odpowiedzi jest błąd.

[bedroszek]

Dziękuje za podanie 2 wariantu, dzięki niemu udało się policzyć
Wydaje mi się że nie pomyliłem się w twierdzeniu cosinusów jednak nie wyszło to co miało wyjść.

Serdecznie dziękuje za podpowiedzi i pozdrawiam.