równość

[damalu]

Na litery oznaczają długości zaznaczonych odcinków. Wykaż, ze zachodzi równość:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}}\)

[wojtek6214]

Krawędź C dzieli podstawę na dwa odcinki ( oznaczam je x i y ) , gdzie x to kawałek podstawy przy długości a , zaś y to kawałek podstawy przy długości b
No i teraz z tw.Talesa

\(\displaystyle{ \frac{a}{x+y} = \frac{c}{y}}\)
Zaś
\(\displaystyle{ \frac{b}{y+x} = \frac{c}{x}}\)

Z pierwszego równania wyznaczam a , a z drugiego b.

\(\displaystyle{ \frac{a}{x+y} = \frac{c}{y}}\)
\(\displaystyle{ a = \frac{c(x+y)}{y}}\)

\(\displaystyle{ \frac{b}{y+x} = \frac{c}{x}}\)
\(\displaystyle{ b = \frac{c(x+y)}{x}}\)

Teraz do tego w treści zadania podstawiam :

\(\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{\frac{c(x+y)}{y} } + \frac{1}{\frac{c(x+y)}{x} } = \frac{1}{c}}\)

\(\displaystyle{ \frac{y}{c(x+y)} + \frac{x}{c(x+y)} = \frac{1}{c}}\)

\(\displaystyle{ \frac{y+x}{c(x+y)} = \frac{1}{c}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{c} = \frac{1}{c}}\)

\(\displaystyle{ L=P}\)