Kwadrat

[Lamus]

Wybieramy sobie punkt należący do boku kwadratu i łączymy go z końcami przeciwległego boku. Jak dobrać punkt tak aby suma długości tych dwóch odcinków była najmniejsza.

(Doszedłem do tego że musi to być środek boku ale nie wiem jak to udowodnić :] )

[wojtek6214]

Ja to robię tak, że po prostu aby długości była najmniejsza długości odcinków muszą być jednakowe, a taki warunek zachowujemy gdy punkt ich przecięcia znajduje się na środku boku

[Lamus]

nie sądze aby to było dobre uzasadnienie :]

[sea_of_tears]

oznaczmy sobie nasz kwadrat jako kwadrat ABCD
nasz wybrany punkt np na boku BC to punkt O
interesują nas długości OD i OA
a - długość boku kwadratu
x - odległość punktu O od punktu C
y - długość OD
z - długość OA

z twierdzenia Pitagorasa :
\(\displaystyle{ y^2= a^2+x^2\newline
\newline
z^2=a^2+(a-x)^2 \newline
z^2=2a^2-2xa+x^2 \newline
\newline
\newline
y^2+x^2=a^2+x^2+2a^2-2xa+x^2=2x^2-2xa+3a^2}\)
mamy więc funkcję kwadratową która minimum przyjmuje w swoim wierzchołku, interesuje nas oczywiście pierwsza współrzędna wierzchołka :
\(\displaystyle{ p=-\frac{-2a}{4}=\frac{1}{2}a}\)

[klaustrofob]

należy jeszcze wykazać, że SUMA KWADRATóW odległości, którą de fakto rozważasz osiąga minimum dla tej samej wartości co suma samych odległości.

[Lamus]

Dziękuje bardzo za szybką i zrozumiałą dla mnie pomoc