trapez i okrąg opisany
-
- Użytkownik
- Posty: 128
- Rejestracja: 6 wrz 2007, o 19:59
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: :)
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 6 razy
trapez i okrąg opisany
Stosunek długości podstaw trapezu równoramiennego jest równy 1:5, jego ramię ma długość c. Znajdź promień okręgu opisanego na trapezie wiedząć, ze w trapez ten można wpisać okrąg.
- Ptaq666
- Użytkownik
- Posty: 478
- Rejestracja: 10 wrz 2006, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piła / Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 154 razy
trapez i okrąg opisany
Niech a będzie krótką podstawą, b długą. Skoro da się wpisać okrąg to a+b=2c. Ze stosunku a:b = 1:5 wyliczasz
\(\displaystyle{ a= \frac{1}{3}c \\ b= \frac{5}{3}c}\)
Teraz z twierdzenia pitagorasa możesz wyliczyć wysokość trapezu \(\displaystyle{ h = \frac{\sqrt{5}}{3}c}\) Mając wysokość da się wyliczyć sinus kąta przy dłuższej podstawie \(\displaystyle{ sin = \frac{\sqrt{5}}{3}}\) . Teraz możesz obliczyć długość przekątnej trapezu (wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{14}}{3}c}\) ). Z twierdzenia sinusów masz, że stosunek przekątnej trapezu do sinusa kąta przy podstawie jest równy średnicy okręgu opisanego. Koniec.
Pewnie da się jakoś prościej, ale ten sposób jakiś super długi też nie jest.
\(\displaystyle{ a= \frac{1}{3}c \\ b= \frac{5}{3}c}\)
Teraz z twierdzenia pitagorasa możesz wyliczyć wysokość trapezu \(\displaystyle{ h = \frac{\sqrt{5}}{3}c}\) Mając wysokość da się wyliczyć sinus kąta przy dłuższej podstawie \(\displaystyle{ sin = \frac{\sqrt{5}}{3}}\) . Teraz możesz obliczyć długość przekątnej trapezu (wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{14}}{3}c}\) ). Z twierdzenia sinusów masz, że stosunek przekątnej trapezu do sinusa kąta przy podstawie jest równy średnicy okręgu opisanego. Koniec.
Pewnie da się jakoś prościej, ale ten sposób jakiś super długi też nie jest.
- RyHoO16
- Użytkownik
- Posty: 1822
- Rejestracja: 22 paź 2006, o 20:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: WLKP
- Podziękował: 46 razy
- Pomógł: 487 razy
trapez i okrąg opisany
Może prościej by było zauważyć, że promień ten wynosi ( według oznaczeń Ptaq666)
\(\displaystyle{ R= \frac{b}{2}= \frac{5}{6}c}\) Tylko nie wiem czy to jest dobrze
\(\displaystyle{ R= \frac{b}{2}= \frac{5}{6}c}\) Tylko nie wiem czy to jest dobrze
- Ptaq666
- Użytkownik
- Posty: 478
- Rejestracja: 10 wrz 2006, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piła / Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 154 razy
trapez i okrąg opisany
Jeśli podstawa b leży na średnicy, to owszem. Ale w zadaniu nie ma takiej informacji (czyli trzeba by to udowodnić jeśli już) i chyba nawet tak nie jest (z moich obliczeń R jest minimalnie większe od b/2 ). No ale może coś przeoczyłem.
- Ptaq666
- Użytkownik
- Posty: 478
- Rejestracja: 10 wrz 2006, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piła / Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 154 razy
trapez i okrąg opisany
No bo przekątna trapezu razem z wysokością tworzy trójkąt prostokątny, którego trzeci bok bardzo łatwo da się wyliczyć odejmując od dłuższej podstawy połowę różnicy długości podstaw.