trapez i okrąg opisany

[damalu]

Stosunek długości podstaw trapezu równoramiennego jest równy 1:5, jego ramię ma długość c. Znajdź promień okręgu opisanego na trapezie wiedząć, ze w trapez ten można wpisać okrąg.

[Ptaq666]

Niech a będzie krótką podstawą, b długą. Skoro da się wpisać okrąg to a+b=2c. Ze stosunku a:b = 1:5 wyliczasz

\(\displaystyle{ a= \frac{1}{3}c \\ b= \frac{5}{3}c}\)

Teraz z twierdzenia pitagorasa możesz wyliczyć wysokość trapezu \(\displaystyle{ h = \frac{\sqrt{5}}{3}c}\) Mając wysokość da się wyliczyć sinus kąta przy dłuższej podstawie \(\displaystyle{ sin = \frac{\sqrt{5}}{3}}\) . Teraz możesz obliczyć długość przekątnej trapezu (wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{14}}{3}c}\) ). Z twierdzenia sinusów masz, że stosunek przekątnej trapezu do sinusa kąta przy podstawie jest równy średnicy okręgu opisanego. Koniec.

Pewnie da się jakoś prościej, ale ten sposób jakiś super długi też nie jest.

[RyHoO16]

Może prościej by było zauważyć, że promień ten wynosi ( według oznaczeń Ptaq666)
\(\displaystyle{ R= \frac{b}{2}= \frac{5}{6}c}\) Tylko nie wiem czy to jest dobrze

[Ptaq666]

Jeśli podstawa b leży na średnicy, to owszem. Ale w zadaniu nie ma takiej informacji (czyli trzeba by to udowodnić jeśli już) i chyba nawet tak nie jest (z moich obliczeń R jest minimalnie większe od b/2 ). No ale może coś przeoczyłem.

[damalu]

Teraz możesz obliczyć długość przekątnej trapezu (wyszło mi frac{sqrt{14}}{3}c )

Chyba po prostu późnosię robi.... jak?

[Ptaq666]

No bo przekątna trapezu razem z wysokością tworzy trójkąt prostokątny, którego trzeci bok bardzo łatwo da się wyliczyć odejmując od dłuższej podstawy połowę różnicy długości podstaw.