Trójkąt prostokątny i okrąg opisany

[Barcelonczyk]

Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest trzy razy dłuższa od drugiej. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość 10cm. Oblicz pole tego trójkąta.

Wyszło mi, że pole trójkąta jest równe 60cm. Ale nie wiem czy dobrze.

Liczyłem, korzystając z :

\(\displaystyle{ \frac{abc}{4R} = \frac{ab}{2}}\)

z czego \(\displaystyle{ a = x}\), \(\displaystyle{ b = 3x}\), \(\displaystyle{ c= \sqrt{10} x}\)

a więc

\(\displaystyle{ \frac{3\sqrt{10}x^{3} }{40} = \frac{3x^{2}}{2} x = 2\sqrt{10}}\)

[Justka]

Wynik dobry
Mozna jeszcze prostszym sposobem:
Jeżeli promień okręgu opisanego na trójkacie prostokatnym jest równy 10 to przeciwprostokatna ma długośc równą 20. I z pitagorasa:
\(\displaystyle{ x^2+(3x)^2=20^2\\
x=2\sqrt{10}}\)
Pole: \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot 3x^2}\)

[MagdaW]

Pamiętaj tylko, że pole wyraża się w jednostkach kwadratowych (przyjrzyj się pierwszemu zdaniu po treści zadania).

[Barcelonczyk]

A skąd wiadomo, że środek okręgu opisanego jest środkiem przeciwprostokątnej?

[Justka]

Stąd, że kazdy trójkat wpisany w okrag oparty na średnicy jest trójkatem prostokątnym, co za tym idzie średnica okręgu jest przeciwprostokatną tego trójkata a promień jest równy połowie długości średnicy.

[MagdaW]

A oto dowód: https://matematyka.pl/73407.html