Trójkąt

[chillout89]

Trójkąt prostokatny ABC, w którym BCA=90stopni i CAB=30stopni, jest opisany na okręgu o promieniu\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\). Oblicz odległość wierzchołka C trójkąta od punktu styczności tego okregu z przeciwprostokątna.

[kujdak]

\(\displaystyle{ \angle BOC \ 105^{0}\\
\angle BOK \ 60^{2}\\
\angle KOC \ 165^{0}}\)

Trójkąt OPC jest prostokątny równoramienny o ramionach OP i CP - mają po \(\displaystyle{ \sqrt 3}\)więc:
\(\displaystyle{ |OC|=\sqrt 6\\
|OK|=\sqrt 3 \\}\)
Mamy obliczyć CK, więc mamy dwa ramienia kąt pomiędzy (165) więc tw. kosinusów.
\(\displaystyle{ |CK|^{2}=6+3-2\sqrt 18 cos165^{0}}\)

_____
Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w jednym punkcie, którym jest środkiem okręgu wpisanego w tej trójkąt.