trapez

[południowalolka]

W trapezie prostokatnym podstawy maja długosci a i b, a krotszy z nierownoleglych bokow ma dlugosc c. Oblicz odleglosc punktu przeciecia przekatnych tego trapezu od podstaw i od boku prostopadłego do podstaw.

[Bizmon]

najpierw oznaczenia:
- A,B,C,D - wierzchołki trapezu (gdzie lDAl=c- krótszy z nierównoległych boków prostopadły do podstaw;lABl=b - podstawa; lCDl=a- podstawa).

- O punkt przecięcie przekątnych

-E spodek wysokości trójkąta ABO opuszczony na AB(\(\displaystyle{ h_{1}=EO}\)-odległość punktu przecięcia przekątnych od AB)
-F spodek wysokości trójkąta CDO opuszczony na CD(\(\displaystyle{ h_{2}=FO}\)odległość punktu przecięcia przekątnych od CD)
-G spodek wysokości trójkąta ADO opuszczony na AD(\(\displaystyle{ h_{3}=GO}\)odległość punktu przecięcia przekątnych od AD)

zauważ że \(\displaystyle{ h_{1}+ h_{2}=c}\) i że trójkąty ABO i CDO są podobne (na mocy kąt kąt kąt - kąty AOB = COD bo są wierzchołkowe ; Kąty ABO=ODC i DCO= OAB bo te kąty są naprzeciwległe).

czyli:

\(\displaystyle{ \frac{b}{a} \frac{b}{a}= \frac{ h_{1} }{h_{2}}}\)
\(\displaystyle{ h _{1}= \frac{b h_{2} }{a} h_{1}+ h_{2}=c h _{1}= \frac{ac}{a+b}}\)- odległość od podstawy o długości b

\(\displaystyle{ h_{2}=c-h_{1}= \frac{bc}{a+b}}\) - odległość od podstawy o długości a


Zauważmy że lAGl=lOEl=\(\displaystyle{ h _{1}}\) i że trójkąty AOG i ACD są podobne (na mocy kąt kąt kąt)
czyli:
\(\displaystyle{ \frac{a}{c}= \frac{h _{3} }{ h_{1} } h _{3}=\frac{a}{c} h_{1} =\frac{a ^{2} }{a+b}}\) odległość od boku o długości c.

mam nadzieję że niec nie pomyliłem pozdrawiam..