Kąt ostryy

[wojtek6214]

Do obszaru kąta ostrego o mierze alfa należy punkt P, którego odległości od ramion kąta są równe a i b . Oblicz odległość punktu P od wierzchołka kąta.

[meninio]

Wprowadźmy nastepujące oznaczenia:
\(\displaystyle{ x}\) - szukana odległość
\(\displaystyle{ \alpha}\)- miara kąta w którego obszarze lezy punkt P
\(\displaystyle{ \beta}\) - miara kąta między jednym ramieniem kąta a odcinkiem x
\(\displaystyle{ \gamma}\) - miara kąta między drugim ramieniem kąta a odcinkiem x

Z przyjętych oznaczeń wynika, że: \(\displaystyle{ \alpha=\beta+\gamma}\)

Z rysunku wynika nastepująca rzecz:
\(\displaystyle{ \sin\beta= \frac{a}{x} x= \frac{a}{\sin\beta} x= \frac{a}{\sin(\alpha-\gamma)} x= \frac{a}{\sin\alpha\cos\gamma-\cos\alpha\sin\gamma}}\) (1)

W powyższym równaniu brakuje nam wartości funkcji \(\displaystyle{ \sin\gamma}\) oraz \(\displaystyle{ \cos\gamma}\).
Z drugiej strony możemy napisać, że:
\(\displaystyle{ \sin\gamma= \frac{b}{x} \cos\gamma=\sqrt{1- \frac{b^2}{x^2} }}\)

Podstawiamy powyższe zależności do równania (1) i dostajemy równanię na zmienną \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ x= \frac{a}{\sqrt{1- \frac{b^2}{x^2}}\sin\alpha-\frac{b}{x}\cos\alpha}}\)

Po wykonaniu prostych przekształceń wyliczamy zmienną \(\displaystyle{ x}\) z powyzszego równania:
\(\displaystyle{ x=\sqrt{\lbrace \frac{a+b\cos\alpha}{\sin\alpha} \rbrace^2+b^2}}\)

Można to jeszcze trochę poupraszczać i wtedy dostaniemy:

\(\displaystyle{ x= \frac{\sqrt{a^2+2ab\cos\alpha+1}}{|\sin\alpha|}}\)


Pozdro!