W kwadrat o boku a wpisujemy okrąg. W ten okrąg wpisujemy kwadrat,w który wpisujemy okrąg itd. W ten sposób powstanie nieskończonym ciąg kwadratów. Oblicz sumę pól wszystkich kwadratów.
Próbowałem to zrobić i ogółem mi wyszło, ze to ciąg geometryczny o
\(\displaystyle{ q= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) ale nie wiem jak to zrobić, bo wynik końcowy powinien wyjść:
\(\displaystyle{ 2a ^{2}}\)
Kwadraty w kwadratach
-
wojtek6214
- Użytkownik
- Posty: 735
- Rejestracja: 28 gru 2007, o 20:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 187 razy
- Pomógł: 1 raz
-
Justka
- Użytkownik
- Posty: 1680
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
Kwadraty w kwadratach
Kolejne pola kwadratów: \(\displaystyle{ a^2,\frac{1}{2}a^2,\frac{1}{4}a^2...}\)
Powstaje nam szereg geometryczny zbieżny, gdzie \(\displaystyle{ q=\frac{1}{2}}\). Zatem:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^2}{2^n}=a^2+\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{4}a^2+...=\frac{a^2}{1-\frac{1}{2}}=2a^2}\)
Powstaje nam szereg geometryczny zbieżny, gdzie \(\displaystyle{ q=\frac{1}{2}}\). Zatem:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^2}{2^n}=a^2+\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{4}a^2+...=\frac{a^2}{1-\frac{1}{2}}=2a^2}\)