[zadanie] trojkat wpisany w okrag

[pangucio]

Nigdy nie wiem jak przy takiego typu zadaniach dojsc do celu, nie wiem jak mam to udowodnic.. popatrzcie na zadanie:

Udowodnij ze w trojkacie ABC symetralna boku BC przecina dwusieczna kata BAC w punkcie D lezacym na okregu opisanym na trojkacie ABC?

Moze mnie jakos nakierujecie ? Szczerze powiem ze nie mam bladego pojecia jak w matematyce mozna zapisac ze cos przecina sie z czyms w danym punkcie

Dzieki wielki za kazde sugestie

[Zlodiej]

1. Ładny rysunek.
2. Zauważ, że prosta OD (O-środek okręgu) zawiera średnice okręgu.
3. Zauważ, że jeżeli O leży na okręgu to odcinek OD to promień tego okregu, zatem wystarczy udowodnić, że trójkąt DOB jest równoramienny o podstawie DB. A to już zauważenie kilku kątów. Dobry rysunek pomoże. (Zobacz, że występuje równość kątów DAB=CAD=DBC, 2BAD=BOD, OBC=90-BOC).

[Dodał]
Sorki. Dałem plame. Skorzystałem z tezy przy dowodzeniu jej. To jest źle. Jak zmądrzeje to pomoge o ile ktoś mnie nie uprzedzi. Ale to dobra droga, tylko trzeba uwazać na to, żeby nie korzystac z tego co ma sie dowieść. (Chyba...)

[pangucio]

A mozesz mi powiedziec skad biora sie te zaleznosci : DAB=CAD=DBC, 2BAD=BOD, OBC=90-BOC ??

-----

Ok sam juz zauwazylem. Teraz mi powiedz jedna rzecz dlaczego wystarczy zauwazyc ze ten trojkat bedzie rownoramienny i po zadaniu ??

[juzef]

Z Pitagorasa BD=CD , a twierdzenie sinusów daje \(\displaystyle{ \frac{BD}{sin(DAB)}=\frac{CD}{sin(DAC)}}\). DAB=DAC, więc punkt D leży na dwusiecznej kąta BAC.

[pangucio]

Aha... taka sprawa.. dzieki Panowie

[Piotr Achinger]

nie można łatwiej? :

niech dwusieczna kąta BAC przecina okrąg opisany w E.
skoro kąty wpisane BAE i CAE są równe, łuki BE i CE są równe, a zatem także
cięciwy BE i CE, czyli E leży na symetralnej BC, tj. D=E