Prostokąt i okrąg

[pelas_91]

Dany jest okrąg o promieniu r i taki prostokąt ABCD, że A i B należą do tego okręgu, a odcinek CD jest do niego styczny.
a) Wyznacz długości bokór tego prostokąta, jeżeli obwód wynosi 6r. (Wyszło mi r i 2r ale nie z wyznaczania tylko tak pasuje.. )
b) Znajdź największą wartość k, dla której zadanie ma rozwiązanie, jeżeli obwód prostokąta wynosi kr.

[florek177]

a)
\(\displaystyle{ a + b = 3r \,\,\}\) ; \(\displaystyle{ \,\ b = r + x \,\,\}\) ; \(\displaystyle{ \,\ \ (\frac{a}{2})^{2} + x^{2} = r^{2}}\);

\(\displaystyle{ a = \frac{6}{5}r \,\,\ ; b = \frac{9}{5}r}\)

[aether]

nie bardzo rozumiem skąd się wzięło:

a)
\(\displaystyle{ \,\ \ (\frac{a}{2})^{2} + x^{2} = r^{2}}\)
? i skąd x i w ogóle

[ Dodano: 30 Kwietnia 2008, 18:22 ]
nie bardzo rozumiem skąd się wzięło:

a)
\(\displaystyle{ \,\ \ (\frac{a}{2})^{2} + x^{2} = r^{2}}\)

? i skąd x i w ogóle

[florek177]

Górny bok kwadratu jest cięciwą okręgu. Odcinek ze środka okręgu do środka boku ( cięciwy) jest równy - x. |OB| = r.
Dolny bok kwadratu jest styczny do okręgu. Odcinek ze środka okręgu do środka tego boku = r; --> r + x = b.
Połowa górnego boku i x są przyprostokątnymi; r - jest przeciwprostokątną.

[pelas_91]

Ktoś pomoże z podpunktem B??

[florek177]

zamiast \(\displaystyle{ a + b = 3r \,\,\}\) do układu równań wstawiasz \(\displaystyle{ \,\ 2a + 2b = kr \,\,\}\)

wyznaczasz a(r,k) i b(r,k) --> liczysz pochodne i wybierasz max. k --> max k = 6
Liczenie dość skomplikowane.

[pelas_91]

liczysz pochodne

Jestem w 1 klasie LO :-p

[florek177]

Jeżeli nie miałeś pochodnych, to w obliczeniach a i b częścią składową tych obliczeń jest m. in. pierwiastek: \(\displaystyle{ \,\ \sqrt{-k^{2} +4k + 16} \,\}\) z którego wynika, że \(\displaystyle{ \,\ k < 2 \sqrt{5} + 2 \,\}\) ; co daje \(\displaystyle{ k 6,472}\)