Pole kół i wycinków kół

[mmalinna]

zad. 1
W wycinek koła o promieniu 6 cm wpisano okrag o promieniu 2 cm. Oblicz pole wycinka koła.

zad. 2
W kole z jednego punktu okregu poprowadzono dwie cięciwy o długości 6 cm każda. wiedząc, że utworzyły one kąt 60 stopni, oblicz pole częsci koła zawartej miedzy tymi ciąciwami.

zad.3
Odległość środków dwóch kół o jednakowych promieniach r, jest równa r. Oblicz pole części wspólnej tych kół.

zad.4
Bok trójkata równobicznego T ma długość a. Ze środka ciężkości tego trójkata zakreślono okrag o ptomieniu 1/3 a, wyznaczający koło K. Oblicz pola figur T-K oraz K-T.

zad.5
Dany jest trójkat równoboczny T o boku długości a. Środek ciężkości tego trójkata jest srodkiem koła K o promieniu, którego długość jest srednia geometryczną promieni okregów: wpisanego i opisanego na T. Oblicz pole figury K_T.

Za każdą podpowiedz lub rozwiązanie z góry dziekuje:)

[JankoS]

zad. 1
W wycinek koła o promieniu 6 cm wpisano okrag o promieniu 2 cm. Oblicz pole wycinka koła.
W trójkącie prostokątnym SPO przyprostokątna PO=2 jest równa połowie przeciwprostokątnej SO=4, więc leży naprzeciw kata 30 stopni. Stąd wycinek jest utworzony przez kąt 60 stopni. Oznaczam P -pole wycinka S - pole koła
\(\displaystyle{ \frac {S}{360 ^{\circ}}=\frac{P}{60 ^{\circ}}.}\)

zad. 2
W kole z jednego punktu okregu poprowadzono dwie cięciwy o długości 6 cm każda. wiedząc, że utworzyły one kąt 60 stopni, oblicz pole częsci koła zawartej miedzy tymi ciąciwami.
W trójkącie prostokątnym OEA przyprostokątna OE leży naprzeciw kata 30stopni, więc równa się połowie przeciwprostokątnej. Stąd i z tw. Pitagorasa \(\displaystyle{ r ^{2}=frac[r ^{2}}{4}+9 frac{3r ^{2}}{4}=9 r=2 sqrt{3}.}\) W trójkącie prostokatnym ADo przyprostokątna DO leży naprzeciw kata 30 stopni więc równa jest połowie AO=r.
\(\displaystyle{ OD=h=\frac{2 \sqrt{3}}{2}= \sqrt{3} .}\)
Szukane pole to pole wycinka utworzonego w kole promieniu \(\displaystyle{ r=2 \sqrt{3}}\)i kąt środkowy 120 stopni + pole trójkąta ABC - pole trójkąta ABO.

[marcinn12]

A da rade rozwiązać zadania 4 i 5?

[JankoS]

A da rade rozwiązać zadania 4 i 5?

4. Srodkowe takiego trójkąta są zarazem wysokościami, Okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r=\frac{a \sqrt{3} }{3 \cdot 2}}\) jest on styczny bików trójkąta. Ponieważ koło zawiera sie w trójkącie nie powinno być problemów.
5.

AB = BC = CA = a. Wysokości są środkowymi. Promień okręgu wpisanego \(\displaystyle{ r=\frac{a \sqrt{3} }{3 \cdot 2},}\) opisanego \(\displaystyle{ R=\frac{2a \sqrt{3} }{3 \cdot 2}.}\) Średnia geometryczna \(\displaystyle{ h= \sqrt{rR}= \sqrt{\frac{a \sqrt{3} }{3 \cdot 2} \cdot \frac{2a \sqrt{3} }{3 \cdot 2}}=a}\) jest wysokością trójkąta prostokąrnego DEC. Ponieważ h = a > r , to szukana różnica K - T jest sumą trzech odcinków kołowych przystających do odcinka FGH.