wykaz, ze trojkat jest rownoramienny

[see-you]

W trókącie ABC, w którym miary trzech kątów wewnętrzych są rowne \(\displaystyle{ \alpha , \beta , \gamma}\) a \(\displaystyle{ sin \gamma=2sin cos\beta}\). Wykaz, ze trojkat ABC jest rownoramienny.

[Baca48]

Nie wiem czy ten dowód jest poprawny, także prosiłbym kogoś bardziej obeznanego w tych tematach o sprawdzenie go (sam również z góry dziękuję )

Aby udowodnic, że trójkąt ABC jest równoramienny, wystarczy wykazac, że ma dwa boki takiej samej długości.

\(\displaystyle{ sin \gamma=2sin \alpha cos\beta}\)

Korzystając z twierdzenie sinusów wyznaczamy:
\(\displaystyle{ sin \alpha = \frac {a \cdot sin\gamma}{c}}\) i po podstawieniu mamy:

\(\displaystyle{ sin \gamma=2 \cdot \frac {a \cdot sin\gamma}{c} \cdot cos\beta}\)

\(\displaystyle{ \frac {a}{c} \cdot cos\beta=\frac{1}{2}}\)

Do tak przekształconego wyrażenia podstawiamy z twierdzenia cosinusów:

\(\displaystyle{ cos\beta = \frac {a^2 + c^2 - b^2}{2ac}}\)

\(\displaystyle{ \frac {a}{c} \cdot \frac {a^2 + c^2 - b^2}{2ac} =\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac {a^2+c^2-b^2}{2c^2} =\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ 2c^2=2a^2+2c^2-2b^2}\)
\(\displaystyle{ a^2=b^2}\)

Jako, że a>0 i b>0:

\(\displaystyle{ a=b}\)

c.n.d.