punkt przecięcia przekątnych trapezu

melomanka100 · Post autor: **melomanka100** » 26 kwie 2008, o 18:25

Oblicz długość odcinka poprowadzonego przez punkt przecięcia przekątnych trapezu o podstawach a i b, równoległego do tych podstaw.

Brzytwa · Post autor: **Brzytwa** » 26 kwie 2008, o 19:51

Oznaczmy sobie wierzchołki trapezu przez A,B,C i D, punkty M i N jako końce szukanego odcinka oraz S jako przecięcie się przekątnych. Spróbuj teraz skorzystać z podobieństwa trójkątów ASM i ACD oraz BSN i BCD.

melomanka100 · Post autor: **melomanka100** » 26 kwie 2008, o 21:24

i co wynika z tego, że są podobne ( znalazłam zasadę kąt-kąt-kąt)

Brzytwa · Post autor: **Brzytwa** » 27 kwie 2008, o 08:43

Przyjmijmy następujące oznaczenia: \(\displaystyle{ MS=x}\), \(\displaystyle{ SN=x'}\), \(\displaystyle{ AS=y}\), \(\displaystyle{ SC=z}\). Korzystając z odobieństwa trójkątów ASM i ACD otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \frac{b}{x}=\frac{y+z}{y}=1+\frac{z}{y}}\)

Z kolei z podobieństw trójkątów ABS i CDS otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \frac{z}{y}= \frac{b}{a}}\)

Mamy więc \(\displaystyle{ \frac{b}{x}=1+\frac{b}{a}}\) czyli \(\displaystyle{ x=\frac{ab}{a+b}}\). Analogicznie dowodzimy \(\displaystyle{ x'=\frac{ab}{a+b}}\). Stąd otrzymujemy \(\displaystyle{ MN=x+x'=\frac{2ab}{a+b}}\)