Uzasadnij, że odcinek łączący środki przekątnych dowolnego trapezu jest równoległy do podstaw i jego długość jest równa połowie róznicy długości podstaw.
thx z góry
Trapez
-
snm
- Użytkownik
- Posty: 468
- Rejestracja: 10 mar 2007, o 12:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inąd
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 54 razy
Trapez
Oznaczmy nasz trapez jako ABCD, przekątne AC i BD, środek AC=S1, środek BD=S2. Narysujmy go w układzie współrzędnych. Rysuje w 1 ćwiartce tak, że AB jest bliżej osi X niż CD, jest do niej równoległy i że B jest na prawo od A, by pominąć moduły.
Oznaczmy współrzędne A=(a,b) B=(c,b) C=(f,e) D=(d,e). Współrzędne S1, jako środka AC, to \(\displaystyle{ S1=(\frac{a+f}{2},\frac{b+e}{2})}\), natomiast \(\displaystyle{ S2=(\frac{c+d}{2}, \frac{b+e}{2})}\). Oba punkt mają taką samą drugą współrzędną, są więc równoległe do osi X, więc równoległe do podstaw. Długość \(\displaystyle{ |S1S2|=\frac{c-a-f+d}{2}=\frac{(c-a)-(f-d)}{2}}\), czyli udowodniliśmy tezę
Oznaczmy współrzędne A=(a,b) B=(c,b) C=(f,e) D=(d,e). Współrzędne S1, jako środka AC, to \(\displaystyle{ S1=(\frac{a+f}{2},\frac{b+e}{2})}\), natomiast \(\displaystyle{ S2=(\frac{c+d}{2}, \frac{b+e}{2})}\). Oba punkt mają taką samą drugą współrzędną, są więc równoległe do osi X, więc równoległe do podstaw. Długość \(\displaystyle{ |S1S2|=\frac{c-a-f+d}{2}=\frac{(c-a)-(f-d)}{2}}\), czyli udowodniliśmy tezę
-
szymek12
- Użytkownik
- Posty: 659
- Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzyżów
- Podziękował: 136 razy
- Pomógł: 54 razy
Trapez
Można to rozwiązać na dwa sposoby. Podam tylko jeden uwzględniający wektory.
Dane: ABCD-trapez(\(\displaystyle{ AB\parallel DC}\)) i AB=a, DC=b, a>b i E,F - środki odcinków AC, BD.
Wiadomo, że:
\(\displaystyle{ \vec{EC}}\)+\(\displaystyle{ \vec{CD}}\)+\(\displaystyle{ \vec{DF}}\)=\(\displaystyle{ \vec{EF}}\)
\(\displaystyle{ \vec{EA}}\)+\(\displaystyle{ \vec{AB}}\)+\(\displaystyle{ \vec{BF}}\)=\(\displaystyle{ \vec{EF}}\)
Dodając równania stronami mamy: \(\displaystyle{ \vec{CD}}\)+\(\displaystyle{ \vec{AB}}\)=2\(\displaystyle{ \vec{EF}}\), ponieważ \(\displaystyle{ \vec{EC}}\)+\(\displaystyle{ \vec{EA}}\)=\(\displaystyle{ \vec{0}}\) i \(\displaystyle{ \vec{DF}}\)+\(\displaystyle{ \vec{BF}}\)=\(\displaystyle{ \vec{0}}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ \vec{CD}}\)+\(\displaystyle{ \vec{AB}}\)=2\(\displaystyle{ \vec{EF}}\), to
\(\displaystyle{ \vec{AB}}\)-\(\displaystyle{ \vec{DC}}\)=2\(\displaystyle{ \vec{EF}}\)
Ponieważ: \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) i \(\displaystyle{ \vec{DC}}\) - wektory o tym samym zwrocie
\(\displaystyle{ \vec{AB}}\) i \(\displaystyle{ \vec{DC}}\) to wektory równoległe i mające ten sam zwrot. Różnica tych wektorów jest wektorem równoległym do danych, którego długość jest różnicą długości poszczególnych wektorów, stąd: \(\displaystyle{ EF\parallel AB}\) i \(\displaystyle{ EF\parallel DC}\).
2\(\displaystyle{ \vec{EF}}\)=\(\displaystyle{ \vec{AB}}\)-\(\displaystyle{ \vec{DC}}\), czyli \(\displaystyle{ \vec{EF}}\)= \(\displaystyle{ \frac{a-b}{2}}\) CND. JEŚLI KTOŚ JEST CIEKAWY JAK MOŻNA TO ZROBIĆ DRUGIM SPOSOBEM PROSZĘ PISAĆ.
Dane: ABCD-trapez(\(\displaystyle{ AB\parallel DC}\)) i AB=a, DC=b, a>b i E,F - środki odcinków AC, BD.
Wiadomo, że:
\(\displaystyle{ \vec{EC}}\)+\(\displaystyle{ \vec{CD}}\)+\(\displaystyle{ \vec{DF}}\)=\(\displaystyle{ \vec{EF}}\)
\(\displaystyle{ \vec{EA}}\)+\(\displaystyle{ \vec{AB}}\)+\(\displaystyle{ \vec{BF}}\)=\(\displaystyle{ \vec{EF}}\)
Dodając równania stronami mamy: \(\displaystyle{ \vec{CD}}\)+\(\displaystyle{ \vec{AB}}\)=2\(\displaystyle{ \vec{EF}}\), ponieważ \(\displaystyle{ \vec{EC}}\)+\(\displaystyle{ \vec{EA}}\)=\(\displaystyle{ \vec{0}}\) i \(\displaystyle{ \vec{DF}}\)+\(\displaystyle{ \vec{BF}}\)=\(\displaystyle{ \vec{0}}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ \vec{CD}}\)+\(\displaystyle{ \vec{AB}}\)=2\(\displaystyle{ \vec{EF}}\), to
\(\displaystyle{ \vec{AB}}\)-\(\displaystyle{ \vec{DC}}\)=2\(\displaystyle{ \vec{EF}}\)
Ponieważ: \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) i \(\displaystyle{ \vec{DC}}\) - wektory o tym samym zwrocie
\(\displaystyle{ \vec{AB}}\) i \(\displaystyle{ \vec{DC}}\) to wektory równoległe i mające ten sam zwrot. Różnica tych wektorów jest wektorem równoległym do danych, którego długość jest różnicą długości poszczególnych wektorów, stąd: \(\displaystyle{ EF\parallel AB}\) i \(\displaystyle{ EF\parallel DC}\).
2\(\displaystyle{ \vec{EF}}\)=\(\displaystyle{ \vec{AB}}\)-\(\displaystyle{ \vec{DC}}\), czyli \(\displaystyle{ \vec{EF}}\)= \(\displaystyle{ \frac{a-b}{2}}\) CND. JEŚLI KTOŚ JEST CIEKAWY JAK MOŻNA TO ZROBIĆ DRUGIM SPOSOBEM PROSZĘ PISAĆ.