Witam.
Mam problem z następującym zadaniem:
W trójkąt równoboczny ABC o boku długości a wpisujemy trójkąty równoramienne tak, że ich podstawa jest równoległa do boku AB, a wierzchołek leży w połowie boku AB. Który z tak wpisanych trójkątów ma największe pole?
Próbowałem podejść do tego zadania na kilka sposobów, ale nic sensownego mi nie wychodziło :/, tak samo nie znalazłem nic podobnego na forum, więc proszę o pomoc, za którą z góry dziękuje
Trójkąt równoramienny wpisany w równoboczny ...
-
binaj
- Użytkownik
- Posty: 547
- Rejestracja: 20 lis 2007, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bielsko-Biała
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 120 razy
Trójkąt równoramienny wpisany w równoboczny ...
hmm, nie do końca rozwiązałem, ale może to będzie pomocne
oznaczmy bok trój. ABC przez a
a wierzchołki szukanego trój. przez KLM, przy czym \(\displaystyle{ KL || AB}\)
trójkąt KCL jest równoboczny o boku b i wysokości \(\displaystyle{ \frac{b \sqrt{3} }{2}}\)
wysokość trójkąta KLM to\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{2} - \frac{b \sqrt{3} }{2}= \frac{ \sqrt{3} (a-b)}{2}}\)
\(\displaystyle{ P\Delta KLM= \frac{ \sqrt{3} }{4} b(a-b)}\)
teraz należy znaleźć max.{b(a-b)}, b
może,ze musi zachodzić b=a-b, wtedy iloczyn na mocy nierówności między śr. jest największy
oznaczmy bok trój. ABC przez a
a wierzchołki szukanego trój. przez KLM, przy czym \(\displaystyle{ KL || AB}\)
trójkąt KCL jest równoboczny o boku b i wysokości \(\displaystyle{ \frac{b \sqrt{3} }{2}}\)
wysokość trójkąta KLM to\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{2} - \frac{b \sqrt{3} }{2}= \frac{ \sqrt{3} (a-b)}{2}}\)
\(\displaystyle{ P\Delta KLM= \frac{ \sqrt{3} }{4} b(a-b)}\)
teraz należy znaleźć max.{b(a-b)}, b
może,ze musi zachodzić b=a-b, wtedy iloczyn na mocy nierówności między śr. jest największy