Podzielony kwadrat.

[pm97]

W kwadracie \(\displaystyle{ ABCD}\) o boku \(\displaystyle{ a = 1}\) punkt \(\displaystyle{ K}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ DC}\). Punkt \(\displaystyle{ P}\) jest punktem przecięcia się prostych \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BK}\).
Oblicz pole czworokąta \(\displaystyle{ APKD}\).


Odp. \(\displaystyle{ P = \frac{5}{12}}\)

[Justka]

Od pola całego kwadratu odejmujesz trójkąt KBC i ABP.
\(\displaystyle{ P_{\Delta KBC}= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{4}\\
P_{\Delta ABP}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ P_{APKD}=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}=\frac{5}{12}}\)

[pm97]

No dobrze tylko skąd wiesz że wysokość trójkąta \(\displaystyle{ ABP}\) wynosi \(\displaystyle{ h = \frac{2}{3}}\)?



Ok zadanie już rozwiązalem. Trochę innym sposobem. Jak napiszesz skąd ci to \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) wyszło to dam ci pkt za pomoc. :]

[kujdak]

\(\displaystyle{ h_{1}}\)-wysokość trójkąta PCK
\(\displaystyle{ h_{2}}\)-wysokość trójkąta ABP

Podobieństwo trójkątów:
\(\displaystyle{ \frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{1}}\)
\(\displaystyle{ 2h_{1}=h_{2}}\)
Widzimy że wysokość większego trójkąta jest 2 razy większa od mniejszego trójkąta. Cała wysokość równa się 1 (bok kwadratu) \(\displaystyle{ 1 : 3 =\frac{1}{3} 2 =h_{2}=\frac{2}{3}}\)

Można to również wykazać obliczając poszczególne pola trójkątów podzielonych przez te proste.