Trójkąt prostokątny \(\displaystyle{ ABC}\) ma boki długości \(\displaystyle{ 3, 4, 5}\). Oblicz promień okręgu stycznego do przeciwprostokątnej i prostych będących przedłużeniami przyprostokątnych.
Odp. \(\displaystyle{ r = 6}\)
Trójkąt prostokątny i okrąg
-
kujdak
- Użytkownik
- Posty: 546
- Rejestracja: 12 paź 2007, o 20:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wlkp
- Podziękował: 193 razy
- Pomógł: 51 razy
Trójkąt prostokątny i okrąg
Nie wiem dlaczego ale mi wychodzi r=3. Przedstawię swoje obliczenia.
Jeżeli przedłużymy przyprostokątne, stworzy nam się układ współrzędnych, gdzie przyprostokątne są osiami układu. A przeciw prostokątna przecina te osie w punktach (-3,0) i (0;4). Więc możemy napisać równanie przeciwprostokątnej przechodzącą przez te 2 punty.
\(\displaystyle{ \frac{4}{3}x-y+4=0-prosta l}\) oraz równanie osi:
\(\displaystyle{ x=0\\
y=0}\)
Należy wyznaczyć taki punkt środka okręgu który będzie styczny do przeciwprostokątnej oraz do przedłużonych przyprostokątnych. Punkt oznaczymy tak: \(\displaystyle{ P=(a,b)}\). Odległość punktu od prostej l oraz od x=0 i y=0 musi być taka sama. Dlatego:
\(\displaystyle{ r=\frac{Aa+Bb+C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\\
r=\frac{\frac{4}{3}a-b+4}{\frac{5}{3}}\\
r=\frac{4a-3b+12}{5}}\)
do prostych x=0 i y=0:
\(\displaystyle{ r=a\\
r=b}\)
\(\displaystyle{ r=\frac{4r-3r+12}{5}\\
r=\frac{r+12}{5}\\
5r=r+12\\
r=3}\)
[ Dodano: 24 Kwietnia 2008, 16:26 ]
weź to pomnóż razy 2, ponieważ na rys. pomocniczym przyjąłem 1 jednostka = 1 kratka, a trójkąt narysowałem 1 jednostka = 2 kratki i będzie promień r=6
Jeżeli przedłużymy przyprostokątne, stworzy nam się układ współrzędnych, gdzie przyprostokątne są osiami układu. A przeciw prostokątna przecina te osie w punktach (-3,0) i (0;4). Więc możemy napisać równanie przeciwprostokątnej przechodzącą przez te 2 punty.
\(\displaystyle{ \frac{4}{3}x-y+4=0-prosta l}\) oraz równanie osi:
\(\displaystyle{ x=0\\
y=0}\)
Należy wyznaczyć taki punkt środka okręgu który będzie styczny do przeciwprostokątnej oraz do przedłużonych przyprostokątnych. Punkt oznaczymy tak: \(\displaystyle{ P=(a,b)}\). Odległość punktu od prostej l oraz od x=0 i y=0 musi być taka sama. Dlatego:
\(\displaystyle{ r=\frac{Aa+Bb+C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\\
r=\frac{\frac{4}{3}a-b+4}{\frac{5}{3}}\\
r=\frac{4a-3b+12}{5}}\)
do prostych x=0 i y=0:
\(\displaystyle{ r=a\\
r=b}\)
\(\displaystyle{ r=\frac{4r-3r+12}{5}\\
r=\frac{r+12}{5}\\
5r=r+12\\
r=3}\)
[ Dodano: 24 Kwietnia 2008, 16:26 ]
weź to pomnóż razy 2, ponieważ na rys. pomocniczym przyjąłem 1 jednostka = 1 kratka, a trójkąt narysowałem 1 jednostka = 2 kratki i będzie promień r=6
-
pm97
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 19 kwie 2008, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skądś
- Podziękował: 8 razy
Trójkąt prostokątny i okrąg
Rozwiązałem to zadanie twoim sposobem tylko że w I ćwiartce układu współrzędnych i wszystko wyszło dlatego poszukałem błędu u ciebie i już wiem gdzie on jest.
1. Rozwiązywałes to zadanie w II ćwiartce dlatego \(\displaystyle{ r = -a}\) a nie \(\displaystyle{ r = a}\). Promień musi być liczbą dodatnią a u ciebie współrzedna \(\displaystyle{ a}\) jest ujemna.
2. Przy wzorze na odległość punktu od prostej wygląda tak \(\displaystyle{ r=\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\\}\) a nie tak jak napisaleś. Masz z tego dwa przypadki. Wjednym wychodzi \(\displaystyle{ r = 1}\) a w drugim \(\displaystyle{ r = 6}\). Pierwszy trzeba wykluczyć bo \(\displaystyle{ r > 4}\) aby zadanie sens miało.
Dzieki za pomoc. Wszystko już jasne.
1. Rozwiązywałes to zadanie w II ćwiartce dlatego \(\displaystyle{ r = -a}\) a nie \(\displaystyle{ r = a}\). Promień musi być liczbą dodatnią a u ciebie współrzedna \(\displaystyle{ a}\) jest ujemna.
2. Przy wzorze na odległość punktu od prostej wygląda tak \(\displaystyle{ r=\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\\}\) a nie tak jak napisaleś. Masz z tego dwa przypadki. Wjednym wychodzi \(\displaystyle{ r = 1}\) a w drugim \(\displaystyle{ r = 6}\). Pierwszy trzeba wykluczyć bo \(\displaystyle{ r > 4}\) aby zadanie sens miało.
Dzieki za pomoc. Wszystko już jasne.