4 zadania pole kół trapezów, równoległoboków.

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
mariusz689
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 249
Rejestracja: 15 lut 2008, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: LBN
Podziękował: 48 razy

4 zadania pole kół trapezów, równoległoboków.

Post autor: mariusz689 »

1.
W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) bok \(\displaystyle{ |BC|=14cm}\), a kąt przeciwległy temu bokowi ma miarę \(\displaystyle{ 120}\) stopni. Wiedząc że stosunek długości boków pozostałych jest równy \(\displaystyle{ 3:5}\).
Oblicz:
a) długości pozostałych boków,
b) długość promienia \(\displaystyle{ r}\) okręgu wpisanego w ten trójkąt,
c) długość środkowej \(\displaystyle{ AA_1}\) .

2.
Przekątne równoległoboków \(\displaystyle{ ABCD}\) przecinają się pod kątem \(\displaystyle{ 30}\) stopni, a ich długości są równe \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 6}\).
Oblicz:
a) pole i obwód równoległoboku,
b) długości obu wysokości,
c) pole koła opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\).

3.
Przyprostokątne \(\displaystyle{ KL}\) i \(\displaystyle{ ML}\) trójkąta prostokątnego \(\displaystyle{ KLM}\) mają odpowiednio długości \(\displaystyle{ 8cm}\) i \(\displaystyle{ 15cm}\). Przed środek okręgu wpisanego w ten trójkąt poprowadzono prosta równoległą do boku \(\displaystyle{ KM}\), która przecina przyprostokątne w punkcie \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).
Oblicz:
a) stosunek pola trójkąta \(\displaystyle{ ABL}\) do pola trójkąta \(\displaystyle{ KML}\),
b) pole figury \(\displaystyle{ F=F_1\setminus F_2}\) , gdzie \(\displaystyle{ F_1}\) jest kołem opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ ABL}\), a \(\displaystyle{ F_2}\) - trójkątem \(\displaystyle{ ABL}\).

4.
Stosunek długości podstaw trapezu równoramiennego opisanego na okręgu jest równy \(\displaystyle{ 1:5}\), a ramię trapezu ma długość \(\displaystyle{ 6}\).
Oblicz:
a) pole trapezu,
b) długość okręgu opisanego na trapezie,
c) pola każdego z czterech trójkątów na jakie przekątne podzieliły trapez.
Ostatnio zmieniony 14 kwie 2021, o 22:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
garb1300
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 267
Rejestracja: 22 sty 2008, o 14:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Legnica
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 76 razy

4 zadania pole kół trapezów, równoległoboków.

Post autor: garb1300 »

zad.1
a) z twierdzenia cosinusów:
\(\displaystyle{ a ^{2} =b ^{2} +c ^{2} -2bc\cos\alpha }\)
wiemy, że
\(\displaystyle{ \alpha =120 ^\circ}\)
\(\displaystyle{ a=14}\)
\(\displaystyle{ \frac{b}{c} = \frac{3}{5}}\)
czyli \(\displaystyle{ b=3x}\) a \(\displaystyle{ c=5x}\)
zatem
\(\displaystyle{ 14 ^{2} =(3x) ^{2} +(5x) ^{2} -2 3x 5x \cos120 ^\circ}\)
obliczasz z tego \(\displaystyle{ x}\) potem pozostałe boki.
b) znasz już długość wszystkich boków więc możesz skorzystać z wzorów na pole trójkąta
\(\displaystyle{ \frac{b c \sin120 ^\circ }{2} =p r}\)
gdzie \(\displaystyle{ r}\)promień okręgu wpisanego, a \(\displaystyle{ p= \frac{a+b+c}{2}}\) to połowa obwodu trójkąta. Podstawiasz wszystkie dane i masz \(\displaystyle{ r}\)

[ Dodano: 24 Kwietnia 2008, 21:08 ]
zad.1 c)
niech kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ B}\) będzie \(\displaystyle{ \beta}\)
wtedy z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ b ^{2} =c ^{2} +a ^{2} -2ac \cos\beta}\)
z tego
\(\displaystyle{ \cos\beta= \frac{13}{14}}\)
ten sam kąt posłuży do obliczenia środkowej:
\(\displaystyle{ \left|AA_1 \right| ^{2} =c ^{2} +( \frac{a}{2} ) ^{2} -2 \frac{a}{2}c \cos \beta}\)
\(\displaystyle{ \left|AA_1 \right| =2 \sqrt{21}}\)

[ Dodano: 24 Kwietnia 2008, 21:22 ]
zad.4
Czworokąt wypukły można opisać na okręgu (czyli w czworokąt można wpisać okrąg) wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków są równe.
zatem \(\displaystyle{ 2c=a+b}\)
wiemy że:
\(\displaystyle{ \frac{b}{a} = \frac{1}{5}}\)
zatem \(\displaystyle{ a=5x}\)
\(\displaystyle{ b=1x}\)
więc mamy:
\(\displaystyle{ x+5x=2 6}\)
\(\displaystyle{ x=2}\)
czyli podstawy maja długości:
\(\displaystyle{ a=10}\)
\(\displaystyle{ b=2}\)

[ Dodano: 24 Kwietnia 2008, 21:29 ]
a)
Pole trapezu
\(\displaystyle{ S= \frac{a+b}{2} h}\)
nie mamy jeszcze \(\displaystyle{ h}\)
z tw. pitagorasa:
\(\displaystyle{ h ^{2} +( \frac{a-b}{2} ) ^{2} =c ^{2}}\)
\(\displaystyle{ h=2 \sqrt{5}}\)

[ Dodano: 25 Kwietnia 2008, 09:45 ]
zad.4
b) Zauważ ze jeżeli okrąg o promieniu \(\displaystyle{ R}\) jest opisany na trapezie \(\displaystyle{ ABCD}\) to ten okrąg o promieniu \(\displaystyle{ R}\) jest opisany na trójkącie \(\displaystyle{ ACD}\). Boki tego trójkąta maja długość: \(\displaystyle{ a=10, c=6}\) i \(\displaystyle{ d}\)-przekątna trapezu. Musimy ją obliczyć.
Jeżeli czworokąt jest wpisany w okrąg, to iloczyn długości jego przekątnych jest równy sumie iloczynów długości boków przeciwległych. W tym zadaniu:
\(\displaystyle{ d ^{2} =a b+c ^{2}}\)
\(\displaystyle{ d=2 \sqrt{14}}\)\(\displaystyle{ }\)
żeby obliczyć \(\displaystyle{ R}\) skorzystamy ze wzorów na pole trójkąta:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} a h= \frac{a c d }{4R}}\)
po przekształceniu
\(\displaystyle{ R= \frac{cd}{2h} = \frac{3 \sqrt{70} }{5}}\)
znając już \(\displaystyle{ R}\) bez problemu obliczasz długość okręgu opisanego na trapezie

[ Dodano: 25 Kwietnia 2008, 14:39 ]
zad.4
c)
W miejscu przecięcia się przekątne dzielą się na dwa odcinki nazwijmy je \(\displaystyle{ x,y}\) (\(\displaystyle{ x+y=d}\)), przekątne podzielą więc trapez na 4 trójkąty:
2 z nich będą równoramienne:
- pierwszy o podstawie \(\displaystyle{ a}\) i ramionach \(\displaystyle{ x}\);
- drugi o podstawie \(\displaystyle{ b}\) i ramionach \(\displaystyle{ y}\).
2 kolejne są dla siebie odbiciem lustrzanym - podstawa \(\displaystyle{ c}\) i ramiona \(\displaystyle{ x,y}\).
Między przekątnymi jest kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), wyznaczmy sinus tego kąta z wzorów na pole trapezu, a potem z jedynki trygonometrycznej jego cosinus:
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} h= \frac{d ^{2} }{2} \sin\alpha }\)
z tego \(\displaystyle{ \sin\alpha = \frac{3 \sqrt{5} }{7}}\)
\(\displaystyle{ \cos\alpha = \sqrt{1-\sin ^{2} \alpha }= \frac{2}{7}}\)
Teraz z tw. cosinusów można wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\) lub \(\displaystyle{ y}\):
\(\displaystyle{ b ^{2} =2y ^{2} -2y ^{2}\cos(180 ^\circ - \alpha)}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{ \sqrt{14} }{3}}\)
Mając \(\displaystyle{ y}\) można obliczyć pole trójkąta z podstawą \(\displaystyle{ b}\):
\(\displaystyle{ P _{b} = \frac{y ^{2} }{2} \sin(180 ^\circ -\alpha )= \frac{ \sqrt{5} }{3}}\)
Następnie obliczamy \(\displaystyle{ x}\) i pole trójkąta z podstawą \(\displaystyle{ a}\):
\(\displaystyle{ x=d-y= \frac{5 \sqrt{14} }{3}}\)
\(\displaystyle{ P _{a} =\frac{x ^{2} }{2} \sin(180 ^\circ -\alpha )=\frac{25 \sqrt{5} }{3}}\)
Pole trójkąta o podstawie \(\displaystyle{ c}\):
\(\displaystyle{ P _{c} = \frac{xy}{2} \sin \alpha= \frac{5 \sqrt{5} }{3}}\)
i gotowe

[ Dodano: 26 Kwietnia 2008, 20:05 ]
zad.2
a)
\(\displaystyle{ P=a b \sin \beta}\)
z tw. cosinusów obliczę boki \(\displaystyle{ a,b}\) równoległoboku, a następnie cosinus kąta \(\displaystyle{ \beta}\) między nimi.
\(\displaystyle{ b ^{2} =( \frac{c}{2} ) ^{2} +( \frac{d}{2} ) ^{2} -2\frac{c}{2} \frac{d}{2}\cos 30 ^\circ}\)
\(\displaystyle{ c,d}\) to oczywiście przekątne równoległoboku (dane w tym zadaniu)
\(\displaystyle{ b= \sqrt{10- 3\sqrt{3} }}\)
\(\displaystyle{ a ^{2} =( \frac{c}{2} ) ^{2} +( \frac{d}{2} ) ^{2} -2\frac{c}{2} \frac{d}{2}\cos (180 ^\circ -30 ^\circ)}\)
\(\displaystyle{ a= \sqrt{10+ 3\sqrt{3} }}\)
Kąt \(\displaystyle{ \beta}\) znajduje się naprzeciw krótszej przekątnej \(\displaystyle{ d=2}\) i wtedy:
\(\displaystyle{ d ^{2} =a ^{2} +b ^{2} -2ab \cos \beta}\) z tego:
\(\displaystyle{ \cos \beta= \frac{8 \sqrt{73} }{73}}\)
Z jedynki trygonometrycznej obliczam sinus:
\(\displaystyle{ \sin \beta= \sqrt{1-\cos ^{2}\beta }}\)
\(\displaystyle{ \sin \beta=\frac{3 \sqrt{73} }{73}}\)
jest już wszystko zeby obliczyć pole i obwód równoległoboku

[ Dodano: 26 Kwietnia 2008, 20:09 ]
2b)
Znamy pole równoległoboku więć bez problemu obliczamy obie wysokości:
\(\displaystyle{ P=a h _{a}}\)
\(\displaystyle{ P=b h _{b}}\)

[ Dodano: 26 Kwietnia 2008, 20:14 ]
2c)
pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) to połowa pola równoległoboku, zatem
\(\displaystyle{ \frac{P}{2} = \frac{abc}{4R}}\)
oczywiście \(\displaystyle{ c=6}\) to dłuższa przekątna równoległoboku, a \(\displaystyle{ R}\) to promień koła opisanego
Ostatnio zmieniony 14 kwie 2021, o 22:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
hithatsme
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 14 kwie 2021, o 21:29
Płeć: Kobieta
wiek: 19

Re: 4 zadania pole kół trapezów, równoległoboków.

Post autor: hithatsme »

Zadania bardzo słabo są wytłumaczone, 4c szczególnie, bez rysunku można się domyślić jeszcze o co chodzi, ale brak podstawień i wypisanie samego wzoru oraz samego wyniku nie jest najlepszym wyjaśnieniem.
ODPOWIEDZ