Punkt w kacie

[mol_ksiazkowy]

Wewnatrz kata ostrego o mierze alpha i wierzcholku O lezy punkt S , którego odległosci od obu ramion wynosza odpowiednio d1 i d2, Znajdz długosc odcinka OS, tj wzor i poprowadz rachunki, gdy:

\(\displaystyle{ d_1=\sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ d_2=4\sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi}{3}}\)

[bosa_Nike]

Mój sposób nie jest zbyt ładny. Jeśli nikt nie wymyśli jakiegoś eleganckiego rozwiązania, to napiszę swoje.

W każdym razie wyszło \(\displaystyle{ |OS|=\sqrt{\frac{d_1^2+d_2^2+2d_1d_2\cos\alpha}{\sin^2\alpha}}}\).

[ Dodano: 22 Kwietnia 2008, 09:03 ]
Elegancko jest tak:

Zrzutujmy prostopadle punkt \(\displaystyle{ S}\) na ramiona kąta wyznaczając punkty \(\displaystyle{ S_1,S_2}\). Wtedy na otrzymanym czworokącie \(\displaystyle{ OS_1SS_2}\) można opisać okrąg.

Z twierdzenia sinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ OSS_1}\): \(\displaystyle{ \frac{|OS|}{\sin\frac{\pi}{2}}=2R}\).
Z twierdzenia sinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ OS_1S_2}\): \(\displaystyle{ \frac{|S_1S_2|}{\sin\alpha}=2R}\).
Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ S_1SS_2}\): \(\displaystyle{ |S_1S_2|=\sqrt{d_1^2+d_2^2-2d_1d_2\cos (\pi -\alpha)}}\).

[mol_ksiazkowy]

oke, A czy istnieje sposob bez wyzej uzytych twierdzen..? kto zna ..hm,?