Zadanie z okręgami

[minus_dwa]

Jaki jest stosunek boków trójkąta, którego kąty wynoszą 30, 60 , 90. Czy w czworokącie suma kątów przy boku jednym jest równa 180 stopni.

A zadanie brzmi:
W kąt o mierze 60 stopni wpisano dwa okręgi styczne do ramion kąta i styczne zewnętrznie do siebie. Wyznacz długość promienia większego okręgu, jeżeli mniejszego okręgu p[romień wynosi r.

[garb1300]

Czy w czworokącie suma kątów przy boku jednym jest równa 180 stopni.

Nie za bardzo rozumiem o co ci chodzi, ale jeśli ci chodzi o kąt który zatoczy półokrąg to tak=180 stopni.

[ Dodano: 21 Kwietnia 2008, 08:10 ]

Jaki jest stosunek boków trójkąta, którego kąty wynoszą 30, 60 , 90.

Wyznaczysz go z twierdzenia sinusów:
\(\displaystyle{ \frac{a}{sin30 ^{o} } =\frac{b}{sin60 ^{o} }=\frac{c}{sin90 ^{o} }=2R}\)
zatem
\(\displaystyle{ a=2Rsin30 ^{o} =R}\)
\(\displaystyle{ b=2Rsin60 ^{o}=R \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ c=2R}\)
\(\displaystyle{ ac=1:\sqrt{3}:2}\)

[ Dodano: 21 Kwietnia 2008, 08:32 ]
A teraz jeśli chodzi o zadanie z okręgami:
ZRÓB RYSUNEK!
Prosta przechodząca przez wierzchołek kąta 60stopni i środki okręgów jest dwusieczną tego kąta i dzieli go na dwa kąty równe 30stopni.
Odległość od wierzchołka kąta do środka mniejszego okręgu równa jest \(\displaystyle{ x}\), natomiast do środka większego okręgu \(\displaystyle{ x+r+R}\) gdzie
\(\displaystyle{ r}\) - promień małego okręgu (dana w tym zadaniu)
\(\displaystyle{ R}\) - promień dużego okręgu (szukana w tym zadaniu)
w punktach styczności okręgów do ramion kąta ich promienie są prostopadłe do tych ramion, mamy więc dwa trójkąty prostokątne z podanym kątem ostrym - 30 stopni. wyznaczamy sinus tego kąta:
\(\displaystyle{ \frac{r}{x} =sin30 ^{o} = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{R}{x+r+R} =sin30 ^{o}=\frac{1}{2}}\)
Teraz z pierwszego równania wyznaczam:\(\displaystyle{ x=2r}\) podstawiam do drugiego i wychodzi
\(\displaystyle{ R=3r}\)

[minus_dwa]

DZIęKI to prawda gdy wykona się rysunek wszystko staje się proste Dobrze opisałeś to zadanie.

Ale wiesz co zacząłem rozwiązywać drugie o treści: Do danego okręgu poprowadzono styczną tak, że końce A i B średnicy AB tego okręgu są odległe od stycznej o 25 i 15. Oblicz dł. średnicy AB.

narysowałem sobie rysunek( okrąg zaznaczyłem na nim średnice, potem narysowałem prostą(zewnętrzną) styczną w jednym pkt. z okręgiem) Poprowadziłem odległość(odcinek) od pkt A i B do tej prostej(stycznej) pod kątem prostym. POtem wyznaczyłem kąt prosty na półokręgu(średnicy AB) i wyznaczyłem trójkątD(pkt styczności)AB. no i tyle, a jeszcze po wyznaczeniu kątów w trójkącie DAB (poprowadziłem środkową) wiem że odległość AD=r i dalej nie moge obliczyć średnica w sumie też 2r. Masz pomysł?

[garb1300]

ja też zrobiłam rysunek, ale nie tak jak ty.
Do tego miejsca tak samo:

narysowałem sobie rysunek( okrąg zaznaczyłem na nim średnice, potem narysowałem prostą(zewnętrzną) styczną w jednym pkt. z okręgiem) Poprowadziłem odległość(odcinek) od pkt A i B do tej prostej(stycznej) pod kątem prostym.

do tego miejsca mamy trapez prostokątny ABCD, gdzie D,C to wierzchołki tego trapezu na stycznej.

Zaznaczyłam w nim 3 odcinki:
1) promień prostopadły do stycznej ( w punkcie styczności z okręgiem)- nazwijmy go OS (O-środek okręgu, S-punkt na stycznej). Odcinek OS jest równoległy do podstawy trapezu BC=15 i AD=25. Ponadto dzieli on ramię trapezu CD na dwie równe części (sprawdziłam!!!), nazwijmy je \(\displaystyle{ x}\), czyli \(\displaystyle{ CD=2x}\)

* \(\displaystyle{ x}\) jest wysokością dla trapezów powstałych z podzielenia przez r (BCSO i OSDA)i teraz zaznaczyłam je w tych trapezach:
2)z wierzchołka B na podstawę OS, wtedy \(\displaystyle{ x}\) oddzieli na niej odcinek\(\displaystyle{ r-15}\)

3) z wierzchołka O na podstawę AD, wtedy\(\displaystyle{ x}\) oddzieli na niej odcinek\(\displaystyle{ 25-r}\)

i co ja widzę? takie same trójkąciki, o bokach r,x takich samych, więc trzeci też musi być odpowiednio równy\(\displaystyle{ r-15=25-r}\)
z tego \(\displaystyle{ r=20}\)
A średnica jak sam mówiłeś \(\displaystyle{ AB=2r=40}\)

[minus_dwa]

A żeby wykazać,w tym zadaniu, że dwa boki są równoległe (czyli jest to trapez) to wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ AD BC}\), ponieważ \(\displaystyle{ \left| ADS \right| = ft| SCB \right| = 90 ^{0}}\) I już ? A jak narysowałem sobie rysunek to zauważyłem ze to zadanie mozna było rozwiązać szybciej z TW. o odcinku łączącym środki ramion Trapezu i też wyszło 20 .
Ale jak dokładnie przeczytałem to właśnie nie rozumiem o co w tym momencie chodzi pkt 2) i 3)
Wspominasz, że:"z wierzchołka B na podstawę OS" ale w którym miejscu ląduje koniec tego odcinka i skąd stwierdzenie potem, że \(\displaystyle{ r-15}\)

[garb1300]

wydaje mi się że wszystko jasno opisałam, a jednak masz wątpliwości

1) promień prostopadły do stycznej ( w punkcie styczności z okręgiem)- nazwijmy go OS (O-środek okręgu, S-punkt na stycznej). Odcinek OS jest równoległy do podstawy trapezu BC=15 i AD=25. Ponadto dzieli on ramię trapezu CD na dwie równe części (sprawdziłam!!!), nazwijmy je x, czyli CD=2x

* x jest wysokością dla trapezów BCSO i OSDA powstałych z podzielenia przez \(\displaystyle{ \left|OS \right| =r}\) i zaznaczyłam je w tych trapezach:

\(\displaystyle{ \left|OS \right| =r}\) jak poprowadzisz z punktu B na ten promień odcinek prostopadły, czyli wysokość x (pisałam wcześniej o tym) to oddzieli ona na tym promieniu odległości równe \(\displaystyle{ \left|BC \right| =15}\) i \(\displaystyle{ r-15}\)