Wykaż prawdziwość zależności

[Mateu]

Wycinek koła, którego promień ma długość \(\displaystyle{ R}\), opiera się na cięciwie o długości \(\displaystyle{ 2a}\). Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ r}\) jest długością promienia okręgu wpisanego w ten wycinek to \(\displaystyle{ \frac{1}{r}=\frac{1}{R}+\frac{1}{a}}\)

[zajec6]

Kiedy wrysujemy okrąg w wycinek, należy poprowadzić dwusieczną kąta opartego na danym łuku, która przecina cięciwe pod kątem prostym dzieląc ją na dwa równe odcinki. Powstaje trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej R, przyprostokątnej a zawierającej się w cięciwie. Jeżeli dorysujemy do okręgu wpisanego w łuk promień tak, aby był prostopadły do promienia dużego okręgu, to powstanie nam kolejny trójkąt, w którym przeciwprostokątną jest odcinek o długości R-r zawierający się w poprowadzonej dwusiecznej, a jedną z przyprostokątnych jest promień r. Te dwa wyżej opisane trójkąty są do siebie podobne (k,k,k), więc występuje zależność:

\(\displaystyle{ \frac{a}{r}=\frac{R}{R-r}}\)

Wystarczy ją tylko przekształcić:

\(\displaystyle{ \frac{a}{r}=\frac{R}{R-r}}\)

\(\displaystyle{ a(R-r)=Rr}\)

\(\displaystyle{ aR-ar=Rr}\)

\(\displaystyle{ aR=Rr+ar}\)

\(\displaystyle{ ar=r(R+a)}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{r}=\frac{R+a}{R}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{r}=1+ \frac{a}{R}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{r}=\frac{1}{a}+ \frac{1}{R}}\)

C.K.D

Pozdrawiam