Obliczyć kąty trójkąta

[wasik12]

Oblicz kąty trójkąta, w którym wysokość i środkowa poprowadzone z jednego wierzchołka dzielą kąt przy tym wierzchołku na tzy kąty o równych miarach.


Dzięki za pomoc

[JHN]

Zrób ładny rysunek. Zauważ istnienie pary trójkątów przystających.
Przyjmijmy oznaczenia:
\(\displaystyle{ h=}\)wysokość trójkąta
\(\displaystyle{ 4x=}\)podstawa
\(\displaystyle{ 3\gamma=}\)kąt przy wierzchołku
Wtedy
\(\displaystyle{ \tan 2\gamma=\frac{3x}{h}}\)
\(\displaystyle{ \tan\gamma=\frac{x}{h}}\)
po podzieleniu równań stronami otrzymasz równanie trygonometryczne zmiennej \(\displaystyle{ \gamma\in ft(0,{\pi\over3}\right)}\) z rozwiązania którego wyniknie odpowiedź
Pozdrawiam

[Ptaq666]

Niech będzie sobie dowolny trójkąt ABC. D to punkt gdzie śerodkowa z wierzchołka C przecina bok AB, a E to punkt gdzie wysokość z wierzchołka C przecina bok AB. Z definicji środkowej widać, że AD = DB. Kąty ACD, DCE, oraz ECB są sobie równe, a więc trójkąty DEC oraz BEC są takie same (to się chyba nazywa przystające, ale nie jestem pewien). W związku z tym DE = EB = 0,5 DB. Niech CE = h oraz EB = x wtedy :

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{3x}{h} = ctg(2 ) \\ \frac{x}{h} = ctg( ) \end{cases}}\) No teraz już tylko wystarczy podzielić stronami i rozwiązać równanie trygonometryczne. Szukany kąt to ACD (ten sam co DCE oraz ECB), reszta już prosto