Oblicz sinus jednego z kątów ostrych trójkąta prostokątnego wiedząc, że stosunek długości promienia okręgu wpisanego do promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 0,4.
Z góry dziękuję
obliczyć sinus kąta ostrego
-
zajec6
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 19 kwie 2008, o 10:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 6 razy
obliczyć sinus kąta ostrego
Rozwiązanie:
Niech a,b = przyprostokątne, c=przeciwprostokątna.
Wiemy, że promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy połowie długości przeciwprostokątnej, więc R=1/2c. Możemy dzieki temu wyliczyć długość promienia okręgu wpisanego uzależniając go od długości c:
\(\displaystyle{ \frac{r}{R}=0,4}\)
\(\displaystyle{ r= \frac{1}{5}c}\)
Długości przyprostokątnych możemy zapisać jako sumy promienia okręgu wpisanego i pozostałej części przyprostokątnej:
\(\displaystyle{ a=r+x}\)
\(\displaystyle{ b=r+y}\)
Długość przeciwprostokątnej można zapisać:
\(\displaystyle{ c=x+y}\)
Korzystając z twierdzenia pitagorasa możemy ułożyć układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=c \\ (\frac{1}{5}c+x)^2+(\frac{1}{5}c+y)^2=c^2\end{cases}}\)
Mamy dwa rozwiązania:
\(\displaystyle{ (x=\frac{3}{5}c y=\frac{2}{5}c) (x=\frac{2}{5}c y=\frac{3}{5}c)}\)
więc:
\(\displaystyle{ (a=\frac{4}{5}c b=\frac{3}{5}c) (a=\frac{3}{5}c b=\frac{4}{5}c)}\)
\(\displaystyle{ \sin{\alpha}= \frac{a}{c} \sin{\alpha}= \frac{b}{c}}\)
\(\displaystyle{ \sin{\alpha}= \frac{4}{5} \sin{\alpha}= \frac{3}{5}}\)
Pozdrawiam
Niech a,b = przyprostokątne, c=przeciwprostokątna.
Wiemy, że promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy połowie długości przeciwprostokątnej, więc R=1/2c. Możemy dzieki temu wyliczyć długość promienia okręgu wpisanego uzależniając go od długości c:
\(\displaystyle{ \frac{r}{R}=0,4}\)
\(\displaystyle{ r= \frac{1}{5}c}\)
Długości przyprostokątnych możemy zapisać jako sumy promienia okręgu wpisanego i pozostałej części przyprostokątnej:
\(\displaystyle{ a=r+x}\)
\(\displaystyle{ b=r+y}\)
Długość przeciwprostokątnej można zapisać:
\(\displaystyle{ c=x+y}\)
Korzystając z twierdzenia pitagorasa możemy ułożyć układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=c \\ (\frac{1}{5}c+x)^2+(\frac{1}{5}c+y)^2=c^2\end{cases}}\)
Mamy dwa rozwiązania:
\(\displaystyle{ (x=\frac{3}{5}c y=\frac{2}{5}c) (x=\frac{2}{5}c y=\frac{3}{5}c)}\)
więc:
\(\displaystyle{ (a=\frac{4}{5}c b=\frac{3}{5}c) (a=\frac{3}{5}c b=\frac{4}{5}c)}\)
\(\displaystyle{ \sin{\alpha}= \frac{a}{c} \sin{\alpha}= \frac{b}{c}}\)
\(\displaystyle{ \sin{\alpha}= \frac{4}{5} \sin{\alpha}= \frac{3}{5}}\)
Pozdrawiam