1.Podstawy trapezu mają długości 10 i 6. Suma miar katów wewnętrznych czworokata przy dłuzszej podstawie jest równa 90 stopni. Oblicz długość odcinka łączącego środki podstaw.
2. Obwód trapezu równoramiennego o kącie ostrym 60 stopni równa się 2s(s>0). Jakie powinny być wymiary tego trapezu, aby jego pole było najpieksze? Oblicz to najwieksze pole.
3. Pole trazepu jest równe P, a stosunek długości podstaw trapezu wynosi 2. Przekątne dziela ten trapez na cztery trójkaty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.
Z GÓRY DZIEKI:)
Trapezy:)
-
michael146
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 24 paź 2007, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Pomógł: 2 razy
Trapezy:)
Mój sposób jest przydługawy. Moze pozniej ktos wstawi cos lepszego.Na razie napiszę mój.
Oznacz dolną podstawę jako a, górną jako b, i ramiona jako c
\(\displaystyle{ a + b + 2c\,=\,2s}\)
\(\displaystyle{ \cos60^o \,=\,\frac{ \frac{ a - b }{2} }{c}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\,=\,\frac{ \frac{ a - b }{2} }{c}}\)
\(\displaystyle{ c\,=\,a - b}\)
Wracamy do wzoru na obwód:
\(\displaystyle{ a + b + 2(a - b)\,=\,2s}\)
\(\displaystyle{ 3a - b \,=\, 2s}\)
\(\displaystyle{ b\,=\,3a - 2s}\)
Obliczamy teraz pole:
\(\displaystyle{ P\,=\,(\frac{ a + 3a - 2s }{2})\cdot h}\)
\(\displaystyle{ P\,=\,(\frac{ 4a - 2s }{2})\cdot h}\)
\(\displaystyle{ P\,=\,(2a - s)\cdot h}\)
Potrzebujemy teraz jeszcze w jakiś sposób uzależnić wysokość h od a.
\(\displaystyle{ h^{2}\,=\,c^{2} - (\frac{ a - b }{2})^{2}}\)
\(\displaystyle{ h^{2}\,=\,\frac{3}{4}(a - b)^{2}}\)
\(\displaystyle{ h\,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}(a - b)}\)
\(\displaystyle{ b\,=\,3a - 2s}\)
\(\displaystyle{ h\,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}( - 2a + 2s)}\)
\(\displaystyle{ h\,=\,\sqrt{3}(s - a)}\)
Wracamy do wzoru na pole i podstawiamy nasze h
\(\displaystyle{ p\,=\,(2a - s)\cdot \sqrt{3}(s - a)\,=\,(2\sqrt{3}a - \sqrt{3}s)(s - a)\,=\,2\sqrt{3}as - \sqrt{3}s^{2} - 2\sqrt{3}a^{2} + \sqrt{3}as\,=\,-2\sqrt{3}a^{2} + 3\sqrt{3}as - \sqrt{3}s^{2}}\)
Z naszego pola tworzymy funkcję \(\displaystyle{ f(a)}\)
\(\displaystyle{ f(a)\,=\, - \sqrt{3}a^{2} + 3\sqrt{3}as - \sqrt{3}s^{2}}\)
Współczynnik a funkcji jest mniejszy od zera, dlatego ramiona funkcji są skierowane w dół. Z tego wynika, że wartośc maksymalną funkcja osiąga w wierzchołku p
\(\displaystyle{ f(a)\,=\, - \sqrt{3}a^{2} + 3\sqrt{3}as - \sqrt{3}s^{2}}\)
\(\displaystyle{ p\,=\, - \frac{b}{ 2a }}\)
\(\displaystyle{ p\,=\,\frac{ - 3\sqrt{3}s }{ - 4\sqrt{3} }}\)
\(\displaystyle{ p\,=\,(\frac{3}{4})s}\)
\(\displaystyle{ a\,=\,\frac{3}{4}s}\)
\(\displaystyle{ b\,=\,(\frac{1}{4})s}\)
\(\displaystyle{ c\,=\,(\frac{1}{2})s}\)
Teraz obliczmy pole tego trapezu:
potrzebujemy jeszcze tylko wysokosci h:
\(\displaystyle{ h\,=\,\sqrt{3}(s - a)}\)
\(\displaystyle{ h\,=\,\sqrt{3}(s - (\frac{3}{4})s)}\)
\(\displaystyle{ p\,=\,(\frac{ \frac{3}{4}s\,+\,\frac{1}{4}s }{2})\cdot \frac{ (\sqrt{3}s) }{4}}\)
\(\displaystyle{ P\,=\,\frac{ \sqrt{3}s^{2} }{8}}\)
Tak jak mówiłem...troszkę długi sposób, ale lepszy rydz niż nic:)
[ Dodano: 16 Kwietnia 2008, 23:09 ]
Co do zadania 3. Kilka razy ten temat był poruszany na forum. Chętnie wklepałbym Ci linka, ale jeszcze nie mogę. także opcja szukaj i po sprawie;)
Oznacz dolną podstawę jako a, górną jako b, i ramiona jako c
\(\displaystyle{ a + b + 2c\,=\,2s}\)
\(\displaystyle{ \cos60^o \,=\,\frac{ \frac{ a - b }{2} }{c}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\,=\,\frac{ \frac{ a - b }{2} }{c}}\)
\(\displaystyle{ c\,=\,a - b}\)
Wracamy do wzoru na obwód:
\(\displaystyle{ a + b + 2(a - b)\,=\,2s}\)
\(\displaystyle{ 3a - b \,=\, 2s}\)
\(\displaystyle{ b\,=\,3a - 2s}\)
Obliczamy teraz pole:
\(\displaystyle{ P\,=\,(\frac{ a + 3a - 2s }{2})\cdot h}\)
\(\displaystyle{ P\,=\,(\frac{ 4a - 2s }{2})\cdot h}\)
\(\displaystyle{ P\,=\,(2a - s)\cdot h}\)
Potrzebujemy teraz jeszcze w jakiś sposób uzależnić wysokość h od a.
\(\displaystyle{ h^{2}\,=\,c^{2} - (\frac{ a - b }{2})^{2}}\)
\(\displaystyle{ h^{2}\,=\,\frac{3}{4}(a - b)^{2}}\)
\(\displaystyle{ h\,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}(a - b)}\)
\(\displaystyle{ b\,=\,3a - 2s}\)
\(\displaystyle{ h\,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}( - 2a + 2s)}\)
\(\displaystyle{ h\,=\,\sqrt{3}(s - a)}\)
Wracamy do wzoru na pole i podstawiamy nasze h
\(\displaystyle{ p\,=\,(2a - s)\cdot \sqrt{3}(s - a)\,=\,(2\sqrt{3}a - \sqrt{3}s)(s - a)\,=\,2\sqrt{3}as - \sqrt{3}s^{2} - 2\sqrt{3}a^{2} + \sqrt{3}as\,=\,-2\sqrt{3}a^{2} + 3\sqrt{3}as - \sqrt{3}s^{2}}\)
Z naszego pola tworzymy funkcję \(\displaystyle{ f(a)}\)
\(\displaystyle{ f(a)\,=\, - \sqrt{3}a^{2} + 3\sqrt{3}as - \sqrt{3}s^{2}}\)
Współczynnik a funkcji jest mniejszy od zera, dlatego ramiona funkcji są skierowane w dół. Z tego wynika, że wartośc maksymalną funkcja osiąga w wierzchołku p
\(\displaystyle{ f(a)\,=\, - \sqrt{3}a^{2} + 3\sqrt{3}as - \sqrt{3}s^{2}}\)
\(\displaystyle{ p\,=\, - \frac{b}{ 2a }}\)
\(\displaystyle{ p\,=\,\frac{ - 3\sqrt{3}s }{ - 4\sqrt{3} }}\)
\(\displaystyle{ p\,=\,(\frac{3}{4})s}\)
\(\displaystyle{ a\,=\,\frac{3}{4}s}\)
\(\displaystyle{ b\,=\,(\frac{1}{4})s}\)
\(\displaystyle{ c\,=\,(\frac{1}{2})s}\)
Teraz obliczmy pole tego trapezu:
potrzebujemy jeszcze tylko wysokosci h:
\(\displaystyle{ h\,=\,\sqrt{3}(s - a)}\)
\(\displaystyle{ h\,=\,\sqrt{3}(s - (\frac{3}{4})s)}\)
\(\displaystyle{ p\,=\,(\frac{ \frac{3}{4}s\,+\,\frac{1}{4}s }{2})\cdot \frac{ (\sqrt{3}s) }{4}}\)
\(\displaystyle{ P\,=\,\frac{ \sqrt{3}s^{2} }{8}}\)
Tak jak mówiłem...troszkę długi sposób, ale lepszy rydz niż nic:)
[ Dodano: 16 Kwietnia 2008, 23:09 ]
Co do zadania 3. Kilka razy ten temat był poruszany na forum. Chętnie wklepałbym Ci linka, ale jeszcze nie mogę. także opcja szukaj i po sprawie;)