Punkty A, B, C, D są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku.

[mentol777]

Punkty A, B, C, D są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku o obwodzie równym 26. Wiedząc, że kąt ABC = 120 stopni i promień okręgu wpisanego w trójkąt BCD jest równy \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\), oblicz długości boków i pole tego równoległoboku.[/latex]

[herfoo]

\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot 26 r}\)
\(\displaystyle{ p=13\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ h=2r}\)
\(\displaystyle{ P=|AB|\cdot h}\)
\(\displaystyle{ 13\sqrt{3}=|AB|2\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ |AB|=6\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ |CD|=6\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ |BC| |DA| = 26-6\frac{1}{2} 2}\)
\(\displaystyle{ |BC|=\frac{1}{2} 13}\)
Wychodzi że jest to kwadrat o boku \(\displaystyle{ 6\frac{1}{2}}\)

prosze zweryfikowac bo nie jestem pewien bo nie uzylem kata

[MagdaW]

herfoo, w zadaniu masz podane, że miara kąta ABC= 120stopni.

[mentol777]

W odpowiedziach jest, że boki mają długość 5 i 8, a powierzchnia \(\displaystyle{ 20\sqrt{3}}\).

[MagdaW]

A no pewnie, że źle zrobiłam. Przepraszam za swój błąd.

[ Dodano: 16 Kwietnia 2008, 16:59 ]
Usunęłam błędne rozwiązanie, aby nie sugerować nikomu sposobu rozwiązania.

[mentol777]

to nikt nie wie?

[Symetralna]

\(\displaystyle{ a, b}\) - dł. boków równoległoboku

\(\displaystyle{ a + b = 13}\)

O trójkątcie BCD wiemy, że kąt przy wierzchołku C ma miarę \(\displaystyle{ 60^{o}}\), promień okręgu wpisanego ma dł. \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)

Niech x będzie krótszą przekątną równoległoboku. Z tw. cosinusów mamy:

\(\displaystyle{ x^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos 60^{o}}\)

Podnosząc do kwadratu równanie \(\displaystyle{ a + b = 13}\) otrzymamy:

\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} + 2ab = 169}\)

Ostatecznie z obu równań : \(\displaystyle{ x = \sqrt{169 - 3ab }}\)

Obliczam dwa razy pole trójkąta BCD:

\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} ab sin 60^{o} = \frac{ \sqrt{3} }{4} ab}\)

\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} (a+b+ x) r = \frac{1}{2} ( 13 + \sqrt{169 - 3ab }) * \sqrt{3}}\)

czyli

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{4} ab = \frac{1}{2} ( 13 + \sqrt{169 - 3ab } * \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ab}{2} - 13 = \sqrt{169 - 3ab }}\)

\(\displaystyle{ ab= 40}\)

\(\displaystyle{ a = 13 - b}\)

\(\displaystyle{ (13-b) b =40}\) dostajemy dwa rozwiązania : 5 i 8

czyli \(\displaystyle{ \begin{cases} a=8 \\ b=5 \end{cases}}\) lub odwrotnie


\(\displaystyle{ P = 2 * \frac{1}{2} ab sin 60^{o} = 20 \sqrt{3}}\)

Może jest krótszy sposób, ale jedynie ten mi przyszedł teraz do głowy.