2 koła styczne zewnętrznie

[maciek18wawa]

Dane są 2 koła styczne zewnętrznie o promieniach R, r, (R>r) środkach S1 S2. Do tych kół poprowadzono wspólną styczną. Oblicz pole trójkąta AOS1 gdzie punkt A to punkt styczności z większym okręgiem, S1 - środek większego okręgu, O - punkt przecięcia się stycznej i prostej S1 S2

[garb1300]

Niech B będzie punktem styczności z mniejszym okręgiem, mamy wtedy 2 trójkąty prostokątne podobne: AOS1 i BOS2.
Trójkąty podobne to każda para trójkątów, których kąty są odpowiednio równe, a boki odpowiednio proporcjonalne.
Oznaczmy długości boków:
OS2=x
BS2=r
OS1=x+r+R
AS1=R
Z twierdzenia o podobieństwie trójkątów:
\(\displaystyle{ \frac{x}{x+r+R} = \frac{r}{R}}\) wyznaczamy x:
\(\displaystyle{ x= \frac{r(R+r)}{R-r}}\)

[ Dodano: 15 Kwietnia 2008, 23:09 ]
Zatem bok OS1 ma długość:
\(\displaystyle{ x+r+R= \frac{R(R+r)}{R-r}}\)
Teraz z twierdzenia Pitagorasa trzeba obliczyć bok OA:
\(\displaystyle{ \left| OA \right| = \sqrt{(\frac{R(R+r)}{R-r}) ^{2} -R ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left| OA \right| = \frac{2R}{R-r} \sqrt{Rr}}\)
Zatem pole trójkąta AOS1:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} R \frac{2R}{R-r} \sqrt{Rr}}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{R ^{2} }{R-r} \sqrt{Rr}}\)