Zadania z planimetri

[AZS06]

Tak, z pewnością trzeba będzie odnieść się do trygonometrii, bowiem w treści zadania danymi są: kąt oraz przekątne. Ponadto mam wynik tego zadania i prezentuje sie on następująco:

Pole = \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)(\(\displaystyle{ p^{2}_{1}\)-\(\displaystyle{ p^{2}_{2}}\))tg\(\displaystyle{ \alpha}\)

[JankoS]

JankoS, podałeś wzór na pole rombu, a nie równoległoboku

faktycznie. Dzięki. Już poprawiam.

[klaustrofob]

jeżeli mamy tylko obliczyć pole, to wystarczy skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ s=ab\sin\alpha}\). od drugiego równania odejmujemy pierwsze i mamy \(\displaystyle{ 4ab\cos\alpha=p_1^2-p_2^2}\). wystarczy przemnożyć to stronami przez \(\displaystyle{ \frac{\sin\alpha}{4\cos\alpha}}\) i otrzymujemy wynik zgodny z odpowiedzią.

[AZS06]

Ze skrawka materiału w kształcie trójkąta o długościach boków 7 cm, 24 cm, 25 cm wycięto koło w trójkąt wpisane. Ile cm2 materiału zostało ??

Problem jest z wyznaczeniem promienia tegoż oto okręgu ;/

[smigol]

Podpowiedź:
\(\displaystyle{ 7 ^{2} + 24 ^{2} = 49 + 576 = 625 = 25 ^{2}}\)
a z tego wynika, że ten trójkąt jest jaki??

[AZS06]

Prostokątny do tego momentu też sie doliczyłem, ale nadal dla mnie to jest mało czytelne i nie mam pomysłu jak obliczyć ten promien by obliczyć pole okręgu.

[JankoS]

nie mam pomysłu jak obliczyć ten promien

Pole trójkąta \(\displaystyle{ =pr,}\) gdzie p połowa długości obwodu.

[GENEK669]

Mam problem z pewnym zadaniem: Mam obliczyć ilość boków w wielokącie w którym jest 119 przekątnych. Doszedłem do tego: 238=n(n-3), ale nie wiem co dalej... może ktoś mi pomóc robiąc to krok po kroku ?

[Justka]

Liczymy dalej zwykłe równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ n(n-3)=238 \iff n^2-3n-238=0\\
\Delta=(-3)^2+4\cdot 238=961\\
\sqrt{\Delta}=\sqrt{961}=31}\)
I mamy dwa rozwiązania:
\(\displaystyle{ n_1=\frac{3-31}{2}=-14\\
n_2=\frac{3+31}{2}=17}\)
Pierwsze rozwiązanie odrzucamy, ponieważ jest ujemne, zatem odpowiedź to 17.

[AZS06]

W trójkącie równoramiennym ABC , w którym |AC| = |BC| kąt przy podstawie ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\). Znajdź długość wysokości CD , jeśli wiadomo, że |AC|+ |CD| = d

Problem jest ze startem tego zadania, a więc z ułożeniem poprawnych proporcji, w celu obliczenia wyznaczenia długości boków.

[Hallena]

\(\displaystyle{ \frac{|CD|}{|AC|}=sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ |AC|=d-|CD|}\) więc \(\displaystyle{ \frac{|CD|}{d-|CD|}=sin\alpha}\)

[Grzegorz t]

W czym jest problem, przecież \(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{CD}{AC}}\)
stąd \(\displaystyle{ CD=ACsin\alpha}\)
\(\displaystyle{ AC+CD=d AC(1+sin\alpha)=d AC=\frac{d}{(1+sin\alpha)}}\)
\(\displaystyle{ CD=d-AC=d(1-\frac{1}{1+sin\alpha})
CD=d\cdot \frac{sin\alpha}{1+sin\alpha}}\)
pozdrawiam

[AZS06]

Dziękuje za poprawne rozwiązanie tego zadania


Zadanie, z którym znów mam problem.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ 10}\), jeśli wiadomo, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy \(\displaystyle{ 2}\).

A więc, przeciwprostokątna jest równa długości średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie, więc
\(\displaystyle{ d=10}\).

Z twierdzenia sinusów.
\(\displaystyle{ \frac{c}{\sin90^\cdot} = \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}}\)

Jednak nic mi to nie daje, bo nie mam ani \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), ani \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\).

Z rysunku mojego wynika, że \(\displaystyle{ \sin\alpha = \frac{a}{10}}\) natomiast \(\displaystyle{ \sin\frac{1}{2}\alpha = \frac{2}{x}}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) to przeciwprostokątna, trójkątu prostokątnego o bokach \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ b-2}\).

Czy dobrze kombinuje ?,
Proszę o pomoc.

[frej]

Oznaczenia standardowe.
W trójkącie prostokątnym:
\(\displaystyle{ r=\frac{a+b-c}{2}}\), zatem
\(\displaystyle{ 2=\frac{a+b-10}{2} a+b=14}\).
Z tw. Pitagorasa jest:
\(\displaystyle{ a^b+b^2=c^2}\), zatem:
\(\displaystyle{ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=c^2 \RIghtarrow P=\frac{ab}{2}=\frac{(a+b)^2-c^2}{4}=\frac{196-100}{4}=24}\)

[AZS06]

A Mógłby mi ktoś wyprowadzić wzór, który napisał @frej, gdzie \(\displaystyle{ r=\frac{a+b-c}{2}}\), bo niezbyt się orientuje, skąd się wziął.

Pozdrawiam