Okno ma kształt prostokąta zakończonego na górze półkolem. Jaka powinna być podstawa prostokąta, żeby przy obwodzie okna wynoszącym 2 metry powierzchnia okna była jak największa?
Mniej więcej tak to wygląda, sorry, ale grafik ze mnie żaden
Prostokąt zakończony na górze półkolem
-
- Użytkownik
- Posty: 91
- Rejestracja: 27 paź 2007, o 17:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 25 razy
- Pomógł: 7 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 54
- Rejestracja: 5 lut 2008, o 20:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 8 razy
Prostokąt zakończony na górze półkolem
Obwód:
\(\displaystyle{ O _{bw} = 2r+ 2h+ \pi r= (2+ \pi )r + 2h}\)
\(\displaystyle{ 2= (2+ \pi )r + 2h}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{2- (2+ \pi )r}{2}}\)
\(\displaystyle{ P(r)= 2r (\frac{2- (2+ \pi )r}{2}) + \frac{\pi r ^{2} }{2}}\) Spokojnie możemy pomnożyć razy 2, bo rozpatrując największa powierzchnie nie ma to znaczenia (jeżeli powierzchnia jest największa, to jej podwojenie tez); a ułatwi to rachunki .
\(\displaystyle{ 2P(r)=4r-(4+2 \pi)r ^{2} + \pi r ^{2}}\)
Jest to funkcja kwadratowa więc największa wartość jest w punkcie wierzchołka paraboli.
\(\displaystyle{ r= \frac{-b}{2a}}\)
\(\displaystyle{ r= \frac{-4}{-(4+2 \pi)}}\)
Oczywiście, jak to byś miał na spr czy maturze, itd... to pamietaj o dziedzinie.
\(\displaystyle{ O _{bw} = 2r+ 2h+ \pi r= (2+ \pi )r + 2h}\)
\(\displaystyle{ 2= (2+ \pi )r + 2h}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{2- (2+ \pi )r}{2}}\)
\(\displaystyle{ P(r)= 2r (\frac{2- (2+ \pi )r}{2}) + \frac{\pi r ^{2} }{2}}\) Spokojnie możemy pomnożyć razy 2, bo rozpatrując największa powierzchnie nie ma to znaczenia (jeżeli powierzchnia jest największa, to jej podwojenie tez); a ułatwi to rachunki .
\(\displaystyle{ 2P(r)=4r-(4+2 \pi)r ^{2} + \pi r ^{2}}\)
Jest to funkcja kwadratowa więc największa wartość jest w punkcie wierzchołka paraboli.
\(\displaystyle{ r= \frac{-b}{2a}}\)
\(\displaystyle{ r= \frac{-4}{-(4+2 \pi)}}\)
Oczywiście, jak to byś miał na spr czy maturze, itd... to pamietaj o dziedzinie.
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 18 kwie 2009, o 20:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów/Dębica/Lubzina
Prostokąt zakończony na górze półkolem
W poprzednim rozwiązaniu jest błąd w rozwiązywaniu funkcji kwadratowej. (tutaj mniemam, że jest all ok)
Rysunek:
\(\displaystyle{ P _{c} = \frac{\pi}{2}r ^{2} + a \cdot 2r}\)
Jak widać aby uzależnić pole powierzchni od r musimy zastąpić czymś \(\displaystyle{ a}\).
Skorzystamy z tego danych zadania.
\(\displaystyle{ O _{bw} = 2}\) <-- z treści zadania
\(\displaystyle{ O _{bw} = \pi r + 2a +2r}\)
\(\displaystyle{ a = 1 - r - \frac{\pi}{2}r}\)
Podstawiamy a do poprzedniego równania:
\(\displaystyle{ P(r) = \frac{\pi}{2}r ^{2} -r ^{2} (2 + \pi) +2r \Rightarrow P(r) = -(2 - \frac{\pi}{2} )r ^{2} + 2r}\)
Teraz mamy równanie kwadratowe. Wystarczy policzyć współrzędną x wierzchołka paraboli.
\(\displaystyle{ p = \frac{-2}{-2(2+ \frac{\pi}{2} )}}\)
\(\displaystyle{ 2r = \frac{4}{(4 + \pi)}}\)
Rysunek:
\(\displaystyle{ P _{c} = \frac{\pi}{2}r ^{2} + a \cdot 2r}\)
Jak widać aby uzależnić pole powierzchni od r musimy zastąpić czymś \(\displaystyle{ a}\).
Skorzystamy z tego danych zadania.
\(\displaystyle{ O _{bw} = 2}\) <-- z treści zadania
\(\displaystyle{ O _{bw} = \pi r + 2a +2r}\)
\(\displaystyle{ a = 1 - r - \frac{\pi}{2}r}\)
Podstawiamy a do poprzedniego równania:
\(\displaystyle{ P(r) = \frac{\pi}{2}r ^{2} -r ^{2} (2 + \pi) +2r \Rightarrow P(r) = -(2 - \frac{\pi}{2} )r ^{2} + 2r}\)
Teraz mamy równanie kwadratowe. Wystarczy policzyć współrzędną x wierzchołka paraboli.
\(\displaystyle{ p = \frac{-2}{-2(2+ \frac{\pi}{2} )}}\)
\(\displaystyle{ 2r = \frac{4}{(4 + \pi)}}\)