twierdzenie sinusów

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
blipek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 25 mar 2008, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 2 razy

twierdzenie sinusów

Post autor: blipek »

Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta}\), \(\displaystyle{ \gamma}\) są kątami trójkąta, to \(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta > \sin \gamma}\).

Niezbyt wiem jak się do tego zabrać. Proszę o jakąś podpowiedź.
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

twierdzenie sinusów

Post autor: Sylwek »

\(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta > \sin \cos \beta + \sin \beta \cos = \sin (\alpha+\beta)=\sin(180^{o}-\alpha-\beta)=\sin \gamma}\)


Pierwsza nierówność zachodzi, bo nie może być dla kąta w trójkącie \(\displaystyle{ \cos =1}\) lub \(\displaystyle{ \cos \beta=1}\), potem wzór na sumę kątów i wzór redukcyjny .
Awatar użytkownika
alchemik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 285
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 65 razy

twierdzenie sinusów

Post autor: alchemik »

\(\displaystyle{ \sin \alpha =\frac{a}{2R} \\ \frac{a}{2R} + \frac{b}{2R}>\frac{c}{2R} \\ a+b>c}\)

Ostatnia nierówność jest spełniona dla każdego trójkąta.
ODPOWIEDZ