Nieskończony ciąg kwadratów...

[askasid]

W kwadrat o boku a wpisujemy okrąg. W ten okrąg wpisujemy kwadrat, w który wpisujemy okrąg itd. W ten sposób powstanie nieskończony ciąg kwadratów. Oblicz sumę pól wszystkich tych kwadratów. Proszę o pomoc.

[Sylwek]

Zauważ, że przekątna kwadratu wpisanego w okrąg wpisany w wyjściowy kwadrat wynosi tyle, co średnica tego okręgu - czyli wynosi \(\displaystyle{ a}\). Zatem pole tego kwadratu wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}a^2}\). Wystarczy teraz zauważyć, że jeśli K jest kwadratem wpisanym w okrąg wpisany w kwadrat L, to: \(\displaystyle{ P_K=\frac{1}{2}P_L}\)

Czyli szukana suma wynosi:
\(\displaystyle{ a^2+\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{4}a^2+\ldots=\frac{a^2}{1-\frac{1}{2}}=2a^2}\)
Bo to jest nieskończony szereg geometryczny zbieżny