Zadanie maturalne

[pawel.l89]

W kwadrat ABCD o boku długości 6j wpisano trójkąt równoramienny KLC w ten sposób, że wierzchołek K należy do boku AD, a wierzchołek L do boku AB. Wiedząc, żę KC=KL wyznacz najmniejszą wartość pola trójkąta KLC. Prosze o pomoc z góry dziękuje![/latex]

[arpa007]

x to odleglosc KA i LA \(\displaystyle{ D_{x}: x \in (0;6>}\)
wyliczymy z tego podstawe tego trojkata:
\(\displaystyle{ x^2+x^2=x \sqrt{2}}\)
znamy podstawe wiec juz tlyko wysokosc jest potrzebna, a wysokosc to przekatna kwadratu minus wysokosc tego malego trojkata, o bokach \(\displaystyle{ x,x,x \sqrt{2}}\)
wysokosc wyniesie, przyrownuje 2 wzory na pole trojkata: \(\displaystyle{ \frac{x x}{2}= \frac{x \sqrt{2} h}{2} h= \frac{x \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ H=6 \sqrt{2}- \frac{x \sqrt{2} }{2}}\)

znamy podstawe i wysokosc:

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{2x^2 (6 \sqrt{2}- \frac{x \sqrt{2} }{2})}{2}= - \frac{2}{2}x^3+6 \sqrt{2}x^2 }\) jaknajmniejsze

\(\displaystyle{ f(x)'=- \frac{3 \sqrt{2}}{2}x^2+12 \sqrt{2}x}\)
wychodza ladne liczby:\(\displaystyle{ f(x)'0 \ dla \ x (0;8)}\)
minimum osiga dla (wierzcholek funkcji)- dla \(\displaystyle{ x=4 D}\)
pole wynosi: \(\displaystyle{ X_{y}=12 \sqrt{2} 16,97 17(j^2)}\)

[pawel.l89]

Według mnie to nie jest poprawnie rozwiązane bo:
1. Bok KL to jest ramie trójkąta równoramiennego KLC a nie podstawa
2. skąd wiesz, że wysokość poprowadzona z wierzchołka C zawiera się w przekątnej kwadratu ABCD?
3. skąd wiesz, że KA=AL ? Możliwe, że tka jest ale skoro tak jest to jak to udowodnić?
4. Nie wiem skąd się wziął u ciebie ten wzór funkcji f, ponieważ pole trójkąta powinno być funkcją drugiego stopnia a nie 3.
5. obliczyłeś pochodną i wyliczyłeś wierzchołek pochodnej. a funkcja osiąga ekstrema przy przejsciach z + na - (max) lub z - na + (min)

[bosa_Nike]

Niech \(\displaystyle{ |AK|=x,\ |AL|=y}\); pole trójkąta wyraźmy jako różnicę pola kwadratu i pól trzech trójkątów prostokątnych.

\(\displaystyle{ S_{\triangle}=36-\frac{1}{2}xy-\frac{1}{2}(6-x)\cdot 6-\frac{1}{2}(6-y)\cdot 6=\frac{6y-x(y-6)}{2}}\)

Ponadto
\(\displaystyle{ |KC|=|KL|\ \iff\ |KC|^2=|KL|^2\ \iff\\ 6^2+(6-x)^2=x^2+y^2\ \iff\ x=\frac{72-y^2}{12}}\).

Po podstawieniu \(\displaystyle{ S_{\triangle}(y)=\frac{y^3-6y^2+432}{24}}\) itd...

Nie przejmuj się stopniem zmiennej - liczby w tym równaniu też mają swoje miana.

[pawel.l89]

ooo dziękuje bardzo. tylko, że to jest zadanie maturalne wiec musi być jakis sposób na wyliczenie go bez pochodnej bo na maturze nie moze być rachunku pochodnych. dlatego tez miałem zastrzeżenie co do stopnia zmiennej.

[bosa_Nike]

No ale \(\displaystyle{ y^3-6y^2+432=(y+2)(y-4)^2+400}\); to powinno pomóc.