Okrą opisany na trójkącie

[Marta99]

W trójkącie ABC bok AC ma 5 cm długości, a miara kąta przy wierzchołku A jest równa 60. Wiedząc, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość \(\displaystyle{ \frac{ 7 \sqrt{3}}{3}}\) cm, oblicz długości pozostałych boków trójkąta ABC.

[lukasz1804]

Łatwo wyznaczymy długość boku BC. Mamy bowiem z twierdzenia sinusów

\(\displaystyle{ \frac{|BC|}{\sin A}=2\cdot\frac{7\sqrt{3}}{3}}\).

Stąd \(\displaystyle{ |BC|=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2\cdot\frac{7\sqrt{3}}{3}=7}\).
Również z twierdzenia sinusów wyznaczymy teraz sinus kąta przy wierzchołku B.
Mamy

\(\displaystyle{ \frac{|AC|}{\sin B}=2 \frac{7\sqrt{3}}{3}}\),

więc \(\displaystyle{ \sin B=\frac{5}{2 \frac{7\sqrt{3}}{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{14}}\).
Zauważmy, że kąt ten jest kątem ostrym. Istotnie, ponieważ \(\displaystyle{ |AC|}\)

[Marta99]

Bardzo dziękuję