W trójkącie równoramiennym...

[dawido000]

W trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt do długości promienia okręgu opisanego na nim.

[Łaju]

z własnosci trygonometrycznych liczymy boki b,h

trójkąt ma boki 2a,b,b

\(\displaystyle{ cos\alpha = \frac{a}{b}}\)
\(\displaystyle{ b = \frac{a}{cos\alpha}}\)

\(\displaystyle{ tg\alpha = \frac{h}{a}}\)
\(\displaystyle{ h = atg\alpha}\)

mając to liczymy pole trókąta ze wzoru \(\displaystyle{ P = \frac{ah}{2}}\)
\(\displaystyle{ P = a^{2}tg\alpha}\)

znając to korzystamy ze wzorów:
\(\displaystyle{ P = \frac{a+b+c}{2} * r}\)
oraz
\(\displaystyle{ P = \frac{a*b*c}{4R}}\)

po wyliczeniu przekształcamy aby otrzymac \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ R}\) podstawiamy pod stosunek i skracamy co się da.

[dawido000]

mi wyszło \(\displaystyle{ \frac{r}{R}=\frac{4asin^2\alpha}{2+cos\alpha}}\), co jest nie zgodnie z odpowiedziami - w odp. jest \(\displaystyle{ \frac{r}{R}=2cos\alpha(1-cos\alpha)}\)

[Łaju]

w takim razie popełniłes błąd w obliczeniach.

Promień okregu wpisanego
\(\displaystyle{ r = \frac{asin\alpha}{1+cos\alpha}}\)

Promień okregu opisanego
\(\displaystyle{ R = \frac{a}{2sin\alphacos\alpha}}\)

\(\displaystyle{ \frac{r}{R} = \frac{2sin^{2}\alpha cos\alpha}{1+cos\alpha} = \frac{2sin^{2}\alpha cos\alpha(1-cos\alpha)}{1- cos^{2}\alpha} = 2cos\alpha(1-cos\alpha)}\)