Pole trapezu

[beatka-k16]

Pole trapezu jest równe \(\displaystyle{ P}\), a stosunek długości podstaw trapezu wynosi 2. Przekątne dzielą ten trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.

[Justka]

Było kilka razy np. tutaj :]

[Dynn]

Można tak:



\(\displaystyle{ P=\frac{(|AB|+|CD|)h}{2}=\frac{3|CD|h}{2}}\)
h - wysokość trapezu

Trójkąty ABX i CDX są podobne (z kątów), znamy ich skalę podobieństwa (2) zatem \(\displaystyle{ h_1=2h_2}\), gdzie \(\displaystyle{ h_1}\) - wysokość trójkąta ABX, \(\displaystyle{ h_2}\)- wysokość trójkąta CDX.

Ponadto mamy \(\displaystyle{ h_1+h_2=h}\), stąd z tych dwóch równań:
\(\displaystyle{ h_1=\frac{2}{3}h}\)
\(\displaystyle{ h_2=\frac{1}{3}h}\)

\(\displaystyle{ P_A_B_C=\frac{|AB|h}{2}=\frac{2|CD|h}{2}=\frac|CD|h=\frac{2}{3}P}\)
\(\displaystyle{ P_A_B_X=\frac{|AB|h_1}{2}=\frac{2|CD|\frac{2}{3}h}{2}=\frac{2}{3}P_A_B_C=\frac{4}{9}P}\)
\(\displaystyle{ P_B_C_X=P_A_B_C-P_A_B_X=\frac{2}{9}P}\)

Analogicznie z trójkątem CDA:
\(\displaystyle{ P_C_D_A=\frac{|CD|h}{2}=\frac{|CD|h}{2}=\frac|CD|h=\frac{1}{3}P}\)
\(\displaystyle{ P_C_D_X=\frac{|CD|h_2}{2}=\frac{|CD|\frac{1}{3}h}{2}=\frac{1}{3}P_C_D_A=\frac{1}{9}P}\)
\(\displaystyle{ P_A_X_D=P_C_D_A-P_C_X_D=\frac{2}{9}P}\)