łuk cięciwa promień
łuk cięciwa promień
dana jest długość łuku okręgu oraz długość cięciwy opartej na tym łuku.Oblicz długość promienia okręgu.
-
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 7 mar 2005, o 11:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: T3
- Pomógł: 10 razy
łuk cięciwa promień
Mógłbyś pokazać, jak to robisz?Tomasz B pisze:W sumie to do obliczenia długości promienia wystarczy znać tylko długość łuku ?
-
- Użytkownik
- Posty: 852
- Rejestracja: 23 paź 2004, o 10:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Pomógł: 28 razy
łuk cięciwa promień
ciekawa teoria......Tomasz B pisze:W sumie to do obliczenia długości promienia wystarczy znać tylko długość łuku ?
- Lady Tilly
- Użytkownik
- Posty: 3807
- Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: nie wiadomo
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 712 razy
łuk cięciwa promień
A jakby tak pokombinować: gdyby oznaczyć łuk jako a oraz cięciwę jako x (to są nasze wiadome) natomiast r to nieznany promień możnaby skorzystać z twierdzenia sinusów, cosinusów: zakładając, iż kąt leżący naprzeciwko x ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\) wówczas na mocy twierdzenia cosinusów x�=2r�-2r�cos\(\displaystyle{ \alpha}\) oraz na podstawie twierdzenia sinusów \(\displaystyle{ 2r=\frac{x}{sin\alpha}}\) powstaje nam układ równań. Wyznaczamy r z drugiej równości (dzielimy przez 2) i otrzymujemy, że: \(\displaystyle{ r=\frac{x}{2sin\alpha}}\) pierwsze równanie wygląda tak \(\displaystyle{ x^{2}=2r^{2}(1-cos\alpha)}\) a dokonując podstawienia mamy \(\displaystyle{ x^{2}=\frac{2x^{2}(1-cos\alpha)}{4sin^{2}\alpha}}\) w mianowniku mamy \(\displaystyle{ sin^{2}\alpha=1-cos^{2}\alpha=(1+cos\alpha)(1-cos\alpha)}\)
potem otrzymujemy \(\displaystyle{ x^{2}=\frac{x^{2}}{2(1+cos\alpha)}}\) po małych przekształceniach otrzymujemy, że \(\displaystyle{ 1+cos\alpha=\frac{1}{2}}\) wówczas \(\displaystyle{ cos\alpha=-\frac{1}{2}}\) czyli \(\displaystyle{ \alpha=\frac{2}{3}\pi}\) teraz korzystamy z miary łukowej kąta podanej w radianach i mamy, że \(\displaystyle{ \frac{a}{r}=\frac{2}{3}\pi}\) gdzie a jest liczbą wiadomą. Teraz bez problemów obliczamy promień r.
mam nadzieję że bykn nigdzie nie zrobiłam
potem otrzymujemy \(\displaystyle{ x^{2}=\frac{x^{2}}{2(1+cos\alpha)}}\) po małych przekształceniach otrzymujemy, że \(\displaystyle{ 1+cos\alpha=\frac{1}{2}}\) wówczas \(\displaystyle{ cos\alpha=-\frac{1}{2}}\) czyli \(\displaystyle{ \alpha=\frac{2}{3}\pi}\) teraz korzystamy z miary łukowej kąta podanej w radianach i mamy, że \(\displaystyle{ \frac{a}{r}=\frac{2}{3}\pi}\) gdzie a jest liczbą wiadomą. Teraz bez problemów obliczamy promień r.
mam nadzieję że bykn nigdzie nie zrobiłam
- juzef
- Użytkownik
- Posty: 890
- Rejestracja: 29 cze 2005, o 22:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koszalin
- Pomógł: 66 razy
łuk cięciwa promień
Czy ty nie udowodniłaś czasem, że każdy kąt ma 120° ?
Moim zdaniem źle użyłaś tw. sinusów.
Moim zdaniem źle użyłaś tw. sinusów.
łuk cięciwa promień
przepraszam... pomyłka... brałem sobie po przekształceniu \(\displaystyle{ r=\frac {l}{2\Pi}}\)
ale już zrozumiałem swój błąd ;]
ale już zrozumiałem swój błąd ;]
- Lady Tilly
- Użytkownik
- Posty: 3807
- Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: nie wiadomo
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 712 razy
łuk cięciwa promień
Rzeczywiście jest tu małe niedomówienie. Mianowicie chodzi o to, że wierzchołek kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) leży nie na okręgu lecz jest on środkiem okręgu. W takim razie nie można mówić, że jest powstału trójkąt jest wpisany w ten okrąg. A gdyby tak zbudować w tym okręgu trjkąt równoramienny, którego omawiana cięciwa byłaby podstawą, ramiona oznaczyć np. jako d i wtedy kąt między tymi ramionami jako \(\displaystyle{ \alpha}\) wtedy możnaby zastosować to twierdzenie sinusów o którym wspominałam wcześniej, a twierdzenie cosinusów wyglądałoby tak: \(\displaystyle{ x^{2}=2d^{2}-2d^{2}cos\alpha}\) natomiast w trójkącie opartym o cięciwę, którego wierzchołek należy do środka okręgu, kąt przy tym okręgu oznaczyć jako β i byłby on dwa razy większy od \(\displaystyle{ \alpha}\) wtedy korzystając z miary łukowej kąta otrzymamy \(\displaystyle{ 2\frac{a}{d}=\frac{a}{r}}\) wtedy r=0,5d i można kombinowac dalej. teraz chyba to lepiej wygląda, trochę mi się wcześniej pokręciło, przepraszam
łuk cięciwa promień
Rozwiązując to zadanie otrzymuję równanie w którym jako niewiadome występują kąt alfa oraz cos(alfa) - nie wiem jak to rozwiązać
- Lady Tilly
- Użytkownik
- Posty: 3807
- Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: nie wiadomo
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 712 razy
łuk cięciwa promień
Na ostatnią podaną przeze mnie równość nie patrz, bo przecież miara łukowa to stosunek łuku do promienia w omawianym okręgu to r jest promieniem nie d. Widzisz jak to jest, że człowiek popełnia błędy i sam później je naprawia. Powiadają, że milczenie jest ozdobą kobiety. Stosując te same oznaczenia rozwiązując układ równań:
\(\displaystyle{ x^{2}=2r^{2}-2r^{2}cos2\alpha}\)
\(\displaystyle{ 2r=\frac{x}{sin\alpha}}\)
otrzymuję tozsamość x=x
\(\displaystyle{ x^{2}=2r^{2}-2r^{2}cos2\alpha}\)
\(\displaystyle{ 2r=\frac{x}{sin\alpha}}\)
otrzymuję tozsamość x=x