łuk cięciwa promień

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
k-janusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 24 sie 2005, o 12:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa

łuk cięciwa promień

Post autor: k-janusz »

dana jest długość łuku okręgu oraz długość cięciwy opartej na tym łuku.Oblicz długość promienia okręgu.
Awatar użytkownika
Tomasz B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 312
Rejestracja: 1 lis 2004, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rybnik

łuk cięciwa promień

Post autor: Tomasz B »

W sumie to do obliczenia długości promienia wystarczy znać tylko długość łuku ?
ap
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 7 mar 2005, o 11:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: T3
Pomógł: 10 razy

łuk cięciwa promień

Post autor: ap »

Tomasz B pisze:W sumie to do obliczenia długości promienia wystarczy znać tylko długość łuku ?
Mógłbyś pokazać, jak to robisz?
arigo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 852
Rejestracja: 23 paź 2004, o 10:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Pomógł: 28 razy

łuk cięciwa promień

Post autor: arigo »

Tomasz B pisze:W sumie to do obliczenia długości promienia wystarczy znać tylko długość łuku ?
ciekawa teoria......
Awatar użytkownika
Lady Tilly
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3807
Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: nie wiadomo
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 712 razy

łuk cięciwa promień

Post autor: Lady Tilly »

A jakby tak pokombinować: gdyby oznaczyć łuk jako a oraz cięciwę jako x (to są nasze wiadome) natomiast r to nieznany promień możnaby skorzystać z twierdzenia sinusów, cosinusów: zakładając, iż kąt leżący naprzeciwko x ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\) wówczas na mocy twierdzenia cosinusów x�=2r�-2r�cos\(\displaystyle{ \alpha}\) oraz na podstawie twierdzenia sinusów \(\displaystyle{ 2r=\frac{x}{sin\alpha}}\) powstaje nam układ równań. Wyznaczamy r z drugiej równości (dzielimy przez 2) i otrzymujemy, że: \(\displaystyle{ r=\frac{x}{2sin\alpha}}\) pierwsze równanie wygląda tak \(\displaystyle{ x^{2}=2r^{2}(1-cos\alpha)}\) a dokonując podstawienia mamy \(\displaystyle{ x^{2}=\frac{2x^{2}(1-cos\alpha)}{4sin^{2}\alpha}}\) w mianowniku mamy \(\displaystyle{ sin^{2}\alpha=1-cos^{2}\alpha=(1+cos\alpha)(1-cos\alpha)}\)
potem otrzymujemy \(\displaystyle{ x^{2}=\frac{x^{2}}{2(1+cos\alpha)}}\) po małych przekształceniach otrzymujemy, że \(\displaystyle{ 1+cos\alpha=\frac{1}{2}}\) wówczas \(\displaystyle{ cos\alpha=-\frac{1}{2}}\) czyli \(\displaystyle{ \alpha=\frac{2}{3}\pi}\) teraz korzystamy z miary łukowej kąta podanej w radianach i mamy, że \(\displaystyle{ \frac{a}{r}=\frac{2}{3}\pi}\) gdzie a jest liczbą wiadomą. Teraz bez problemów obliczamy promień r.
mam nadzieję że bykn nigdzie nie zrobiłam
Awatar użytkownika
juzef
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 890
Rejestracja: 29 cze 2005, o 22:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Pomógł: 66 razy

łuk cięciwa promień

Post autor: juzef »

Czy ty nie udowodniłaś czasem, że każdy kąt ma 120° ?
Moim zdaniem źle użyłaś tw. sinusów.
Awatar użytkownika
Tomasz B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 312
Rejestracja: 1 lis 2004, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rybnik

łuk cięciwa promień

Post autor: Tomasz B »

przepraszam... pomyłka... brałem sobie po przekształceniu \(\displaystyle{ r=\frac {l}{2\Pi}}\)
ale już zrozumiałem swój błąd ;]
Awatar użytkownika
Lady Tilly
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3807
Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: nie wiadomo
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 712 razy

łuk cięciwa promień

Post autor: Lady Tilly »

Rzeczywiście jest tu małe niedomówienie. Mianowicie chodzi o to, że wierzchołek kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) leży nie na okręgu lecz jest on środkiem okręgu. W takim razie nie można mówić, że jest powstału trójkąt jest wpisany w ten okrąg. A gdyby tak zbudować w tym okręgu trjkąt równoramienny, którego omawiana cięciwa byłaby podstawą, ramiona oznaczyć np. jako d i wtedy kąt między tymi ramionami jako \(\displaystyle{ \alpha}\) wtedy możnaby zastosować to twierdzenie sinusów o którym wspominałam wcześniej, a twierdzenie cosinusów wyglądałoby tak: \(\displaystyle{ x^{2}=2d^{2}-2d^{2}cos\alpha}\) natomiast w trójkącie opartym o cięciwę, którego wierzchołek należy do środka okręgu, kąt przy tym okręgu oznaczyć jako β i byłby on dwa razy większy od \(\displaystyle{ \alpha}\) wtedy korzystając z miary łukowej kąta otrzymamy \(\displaystyle{ 2\frac{a}{d}=\frac{a}{r}}\) wtedy r=0,5d i można kombinowac dalej. teraz chyba to lepiej wygląda, trochę mi się wcześniej pokręciło, przepraszam
k-janusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 24 sie 2005, o 12:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa

łuk cięciwa promień

Post autor: k-janusz »

Rozwiązując to zadanie otrzymuję równanie w którym jako niewiadome występują kąt alfa oraz cos(alfa) - nie wiem jak to rozwiązać
Awatar użytkownika
Lady Tilly
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3807
Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: nie wiadomo
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 712 razy

łuk cięciwa promień

Post autor: Lady Tilly »

Na ostatnią podaną przeze mnie równość nie patrz, bo przecież miara łukowa to stosunek łuku do promienia w omawianym okręgu to r jest promieniem nie d. Widzisz jak to jest, że człowiek popełnia błędy i sam później je naprawia. Powiadają, że milczenie jest ozdobą kobiety. Stosując te same oznaczenia rozwiązując układ równań:
\(\displaystyle{ x^{2}=2r^{2}-2r^{2}cos2\alpha}\)

\(\displaystyle{ 2r=\frac{x}{sin\alpha}}\)
otrzymuję tozsamość x=x
ODPOWIEDZ