udowodnić twierdzenie o trójkącie prostokątnym

[mat1989]

Udowodnij twierdzenie: „Jeżeli w trójkąt, prostokątny wpiszemy okrąg, to iloczyn długości odcinków, na które dzieli przeciwprostokątną punkt styczności z okręgiem równa się polu tego trójkąta".

[ojciec_kogut]

Niech a i b to będą przyprostokątne.

Wtedy te odcinki będą miały długość a-r oraz b-r.
Stąd
\(\displaystyle{ (a-r)(b-r)=ab-ar-br+r^{2}}\)
Jednocześnie mamy wzór:
\(\displaystyle{ P=pr= \frac{1}{2} (a+b+a-r+b-r) r=(a+b-r) r=ar+br-r^{2}}\)
Czyli:\(\displaystyle{ (a-r)(b-r)=ab-P=2P-P=P}\)
c.n.d.