Kilka zadań(okrąg wpisany i opisany)

[Dude102]

1.Na trójkącie prostokątnym opisany jest okrąg o promieniu 5.Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka kąta prostego wynosi 4.Oblicz obwód trójkąta.

2.Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest równa sumie średnic okręgów wpisanego i opisanego.

3.Boki trójkąta są równe 7, 24, 25. Oblicz promienie okręgów wpisanego i opisanego.

[MagdaW]

1.
Skoro jest to trójkąt prostokątny, to jego przeciwprostokątna ma długość 10
Możemy policzyć pole tego trójkąta, bo mamy wysokość poprowadzoną na przeciwprostokątną. Pole wynosi 20. Pole to także połowa iloczynu przyprostokątnych (a, b)
stąd otrzymujemy równanie ab=40
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy 2 równanie:
\(\displaystyle{ a ^{2}+b ^{2}=100

z tego otrzymujemy

a ^{2}+b ^{2}+2ab=100+80=180

(a+b) ^{2}=180

a+b=6 \sqrt{5}

Obw: 10+6 \sqrt{5}=2(5+3 \sqrt{5})}\)

[Mortify]

3) zauważmy że \(\displaystyle{ 7^{2}+24^{2}=49+576=625=25^{2}}\) z tego wynika ze ten trójkąt jest prostokątny
R-dl. promienia okregu opisanego na tym trojkacie
r-dl. promienia okregu wpisanego w ten trojkat
\(\displaystyle{ R= \frac{c}{2}}\), gdzie c to dlugosc przeciwprostokatnej
\(\displaystyle{ r= \frac{a+b-c}{2}}\), gdzie a i b to dl. przyprostokatnych, a c dlugosc przeciwprostokatnej

[ Dodano: 6 Kwietnia 2008, 23:53 ]
\(\displaystyle{ 2) R= \frac{c}{2}}\)
\(\displaystyle{ r= \frac{a+b-c}{2}}\)
mamy wykazac ze\(\displaystyle{ a+b=2R+2r}\)
\(\displaystyle{ 2R+2r=2(R+r)=2 \frac{c+a+b-c}{2} = 2\frac{a+b}{2} = a+b}\) cnd