Pole trójkąta powstalego ze stycznych

[Mariannn]

Na okręgu o promieniu r obrano trzy punkty K, L, M, które dzielą okrąg na trzy części w stosunku 3:4:5. W wybranych punktach poprowadzono styczne do okręgu , które przecinają się w punktach A,B,C. Oblicz pole trójkąta ABC.

[garb1300]

Najpierw obliczyłam kąty powstałe z podziału okręgu; nazwijmy je A, B, C:
A=3k
B=4k
C=5k

\(\displaystyle{ 3k+4k+5k=2 \pi}\)
z tego
\(\displaystyle{ k= \frac{\pi}{6}}\)
zatem kąty
\(\displaystyle{ A= \frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ B= \frac{2}{3} \pi}\)
\(\displaystyle{ C= \frac{5}{6} \pi}\)
teraz można wyznaczyć kąty wewnętrzne trójkąta ABC odpowiednio:
\(\displaystyle{ \alpha=\pi - \frac{\pi}{2}=90 ^{o}}\)
\(\displaystyle{ \beta=\pi - \frac{2}{3} \p=60 ^{o}}\)
\(\displaystyle{ \gamma=\pi-\frac{5}{6} \pi=30 ^{o}}\)
Okazało się, że jest to trójkąt prostokątny, więc jego pole
\(\displaystyle{ P= \frac{ab}{2}}\)
Trzeba tylko wyznaczyć a,b
Środek okręgu jest w miejscu przecięcia się dwusiecznych kątów, zatem
\(\displaystyle{ \frac{r}{b-r} =tg \frac{60 ^{o} }{2} = \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)
\(\displaystyle{ b=r(1+ \sqrt{3})}\)

natomiast
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} =tg 60 ^{o}}\)
\(\displaystyle{ a=r \sqrt{3} (1+ \sqrt{3} )}\)
Jest a,b - podstawić do wzoru na pole i gotowe