okrąg wpisany w trapez

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
LySy007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 386
Rejestracja: 1 kwie 2007, o 00:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z fotela
Podziękował: 107 razy
Pomógł: 3 razy

okrąg wpisany w trapez

Post autor: LySy007 »

Środek okręgu wpisanego w trapez prostokątny znajduje się w odległości \(\displaystyle{ 1}\) cm i \(\displaystyle{ 2}\) cm od końców ramienia pochyłego danego trapezu. Znajdź pole trapezu.

Znalazłem na innym forum rozwiązanie. Jednak nie bardzo rozumiem skąd tam się biorą niektóre rzeczy. Czy ktoś mógłby mi pomóc?

Oto rozwiązanie:

Ramię pochyłego trapezu jest styczne do okregu wpisanego w trapez i jest bokiem c trójkąta o pozostalych bokach a = 1
i b = 2.
Zauważmy, że jak zaczniemy styczną (bok c) "obracać" na promieniu wodzącym r okręgu wpisanego, aż do pozycji, gdzie
styczna będzie prostopadła do podstawy trapezu, to boki a i b staną się sobie równe a kąt miedzy nimi jest 90 stopni.
Kąt ten jest stały niezależnie od połozenia stycznej. Stąd wiemy, że trójkąt o bokach a, b, c jest trójkatem prostokątnym
z przeciwprostokątną c.
Wstawiajac wartosci a i b mamy: c = 5 ^ (1/2)
Powierzchnia trójkąta A = (a * cool.gif(1/2) ale też A = (r * c)(1/2)
Po porównaniu i wstawieniu wartości mamy promień okregu wpisanego r = 2/[5 ^ (1/2)]
Widać, że bok c jest w miejscu styku podzielony na dwie cześci p i q. Części te są równe odległościom od osi okręgu wpisanego
do punktów przecięcia stycznej z podstawami trapezu(powstałe trójkąty są przystające).
Mamy: (p ^ 2) = (a ^ 2) - (r ^ 2) , po wstawieniu wartosci p = 1/[5 ^ (1/2)]
i q = c - p , po wstawieniu wartości q = 4/[5 ^ (1/2)]
Długość górnej podstawy trapezu Pg = r + p , po wstawieniu wartości Pg = 3/[5 ^ (1/2)]
Długość dolnej podstawy trapezu Pd = r + q , po wstawieniu wartości Pg = 6/[5 ^ (1/2)]
Wysokość trapezu h = 2r , h = 4/[5 ^ (1/2)]
Powierzchnia trapezu At = [(Pg + Pd) * h]/2 , At = 3,6

Jest jeszcze prostsze rozwiązanie:
Można zauważyć, że boki a i b tworzą z promieniem r dwa trójkąty. Oba te trójkąty przylegają do symetrycznych trójkątów, te
z kolei przylegają do pionowej osi okręgu wpisanego. Teraz widać, że część pola powierzchni trapezu, zawarta pomiędzy
pionową osią okręgu wpisanego a skośnym bokiem trapezu � jest równa powierzchni dwóch trójkątow w/w.
Powierzchnia ta A1 = a * b , A1 = 2
Pozostała część powierzchni trapezu A2 = 2 * (r ^ 2) , A2 = 1,6
Powierzchnia całkowita trapezu A = A1 + A2 , A = 3,6

PS. Przepraszam, że to co wkleiłem nie jest w Latexie.
inka155
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 19 lis 2007, o 18:19
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: dolnośląskie ;)
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 1 raz

okrąg wpisany w trapez

Post autor: inka155 »

AB \(\displaystyle{ \left| \right|}\) CD środek okręgu wpisanego - S,

przede wszystkim trzeba zauwazyc ze kąt BSC jest prosty ( co mozna łatwo udowodnic - środek okręgu wpisanego w trapez lezy na przecieciu sie dwusiecznych jego kątów, w naszym przypadku dwusieczne zawieraja sie w przyprostokatnych tego trojkata, wiemy ze katy przy jednym ramieniu mają 180 stopni, stąd kąty SCB i SBC stanowią połowy kątów, a wiec razem te katy maja 180:2 czyli 90stopni co oznacza ze kąt BSC jest prosty

liczymy przzeciwprostokątną (BC) mi wyszlo pierwiastek z 5

jak juz to mamy to mozna policzyc na dwa sposoby pole trójkąta BCS, raz jako 1*2:2
a drugi raz jako r * \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\):2
dzieki temu wyliczylismy r
wiemy ze wysokość tego trapezu to 2*r ( mi wyszło \(\displaystyle{ \frac{4 \sqrt{5} }{5}}\)
potrzebne do policzenia pola sa nam jeszcze podstawy, warunkiem okręgu wpisanego w czworokat jest równa suma przeciwległych boków a wiec suma podstaw to suma ramion

Podstawiamy do wzoru na pole i ... mi wyszlo 3, 6
ODPOWIEDZ