Suma kwadratow

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Suma kwadratow

Post autor: mol_ksiazkowy »

Obliczyc sumę kwadratow s wszystkich boków i przekatnych n kata foremnego wpisanego w koło o promieniu r. tj
s=f(n,r)
kmail
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 16 lis 2007, o 16:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: stamtąd
Pomógł: 2 razy

Suma kwadratow

Post autor: kmail »

wydaje mi się że będzie:

\(\displaystyle{ S=\sum_{i=1}^{n-1} ft( \sum_{j=1}^{i} 2r^{2} ft( 1-cos \frac{2 \pi j}{n} \right) \right)}\)

pewnie da się to jakoś ładniej zapisać...

później napiszę skąd mi się to wzięło

[ Dodano: 6 Kwietnia 2008, 19:43 ]
środek okręgu opisanego na tym wielokącie umieściłem w początku układu współrzędnych, a w punkcie (r, 0) umieściłem jeden z wierzchołków n-kąta foremnego. Teraz obracając ten punkt względem punktu (0, 0) można otrzymać pozostałe wierzchołki. Punkt obrócony o \(\displaystyle{ \gamma}\) ma współrzędne:

\(\displaystyle{ (r\cos\gamma, r\sin\gamma)}\)

kwardrat odległości tego punktu od punktu (r, 0):

\(\displaystyle{ (r-r\cos\gamma)^{2}+(r\sin\gamma)^{2}=r^{2}-2r^{2}\cos\gamma+r^{2}(\sin^{2}\gamma+\cos^{2}\gamma)=2r^{2}(1-\cos\gamma)}\)

sąsiednie punkty n-kąta są obrócone względem siebie (obrót względem (0, 0)) o

\(\displaystyle{ \frac{2\pi}{n}}\)

teraz od wybranego punktu prowadzimy odcinki do wszystkich pozostałych punktów. Ich suma kwadratów długości to:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n-1}2r^{2}\left(1-\cos\frac{2\pi i}{n}\right)}\)

tak powstałą figurę obracamy względem (0, 0) o kąt 2pi/n aby uzyskać nowe odcinki łączące punkty. Trzeba zauważyć, że jeden z tych odcinków (skrajny) nachodzi na poprzedni, więc nie uwzględniamy go w sumie. Następna figura będzie o ten skrajny odcinek pomniejszona. Teraz nową figurę obracamy o 2pi/n i znowu skrajny odcinek trzeba skasować. Tak należy postąpić n-1 razy, stąd:

\(\displaystyle{ S=\sum_{i=1}^{n-1} ft( \sum_{j=1}^{i} 2r^{2} ft( 1-cos \frac{2 \pi j}{n} \right) \right)}\)

gdy zaczniemy sobie tym wzorem sumować kwadraty długości odcinków, to najpierw dodajemy jeden odcinek a na końcu n-1 odcinków, ale jak wiadomo nie ma znaczenia od której strony zaczniemy sumować

pozdrawiam
ODPOWIEDZ