twierdzenie o dwusiecznej kąta trójkąta

[wasik12]

Dwusieczna kąta prostego trójkąta prostokątngo dzieli przeciwprostokątną na odcinki o długościach a i b. Oblicz dlugości przyprostokątnych tego trójkąta.


Dzięki za pomoc

[Swistak]

Korzystając z twierdzenia o dwusiecznej twierdzę, że przyprostokątne mają długość xa i xb. Kwadrat wysokości poprowadzonej z wierzchołka tójkąta prostego jest równy iloczynowi odcinków, na który dzieli przyprostokątną. Teraz ze wzoru na pole \(\displaystyle{ xa\cdotxb=(a+b)\cdot\sqrt{ab}}\).
Z tego łatwo wyliczyć, że \(\displaystyle{ x=\sqrt{\frac{(a+b)\sqrt{ab}}{ab}}\).
z tego przyprostokątne mają długości \(\displaystyle{ a\cdot \sqrt{\frac{(a+b)\sqrt{ab}}{ab}} \ \ i \ \ b\cdot \sqrt{\frac{(a+b)\sqrt{ab}}{ab}}\).

[wasik12]

słuchaj, a skąd takie twierdzenie?

[kmail]

ja zrobiłem tak:

z twierdzenia o dwusiecznej boki to xa i xb no i a+b
pitagoras:
\(\displaystyle{ (xa) ^{2} + (xb) ^{2} = (a+b) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} (a ^{2} +b ^{2} )=(a+b) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{a+b}{ \sqrt{a ^{2} +b ^{2}} }}\)

czyli boki to:

\(\displaystyle{ \frac{a(a+b)}{ \sqrt{a ^{2} +b ^{2}} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{b(a+b)}{ \sqrt{a ^{2} +b ^{2}} }}\)

edit:
rozwiazanie kolegi Swistaka jest chyba dobre tylko wtedy gdy wysokość poprowadzona z kąta ostrego pokrywa się z dwusieczną tego kąta...

[Swistak]

AAAA...
Wczoraj byłem jakiś zamulony. Zwaliłem 2 konkursy i najwyraźniej jeszcze nie doszedłem do siebie ;P.