Sznurek i dwa kola

[kac83]

Jak wyznaczyc maksymalna odleglosc w jakiej znajda sie dwa kola przy maksymalnym naprezeniu sznurka o znanej dlugosci. promienie kol rowniez sa dane, a sznurek jest absolutnie nie rozciagliwy. oto rysunek obrazujacy problem



chodzi mi o funkcje d(r1,r2,l)=....

zakladamy ze linka jest wystarczajaco dluga by taki schemat polaczenia mogl zaistniec.

czekam na wszelka pomoc i z gory dziekuje

[black_ozzy]

W tym co napisze tylko wylicze to, ale niestety nie podam ci tej funkcji o którą prosisz, może jakoś Cię to nakieruje. Mam nadzieje że nie popełniłerm nigdzie błędu.

Mamy dane R, r i l. obwody paszych kół wynoszą odpowiednio \(\displaystyle{ 2\Pi R}\) i \(\displaystyle{ 2\Pi r}\). odległość miedzy punktami z którymi styka sie sznurek w obu kołach na górze i na dole sa takie same i odległości te oznaczyłem jako M. czyli nasze l można zapisać jako: \(\displaystyle{ l\,=\,2M + \frac{1}{2}(2\Pi R) + \frac{1}{2}(2\Pi r)\,=\,2M + \Pi R + \Pi r}\), z tego wyliczamy M. Mamy tu trapez równoramienny o podstawach 2R i 2r i ramieniu M a wysokość to nasze d (odległość środków). Teraz liczymy odcinek N \(\displaystyle{ \frac{ 2R - 2r }{2}\,=\,N}\) (N to odcinek od wierzchołka dolnej posdtawy o wysokości poprowadzonej z górnwgo wierzchołka). Teraz z twierdzenia pitagorasa liczysz d - \(\displaystyle{ d^{2}\,=\,M^{2} - N^{2}}\).

Mam nadzieje że to pomoże, a jeżeli już do tego doszłeś i szukałeś tylko i wyłącznie funkcji to sorry ale nie weim.

Pozdrawaim

[ Dodano: Pon Lip 25, 2005 10:14 pm ]
\(\displaystyle{ f(R, r, l)\,=\,\sqrt{ (\frac{ l - \Pi (R - r) }{2})^{2} - (R - r)^{2} }}\)

Może to ta funkcja??
Nie wiem

Pozdrawaim ponownie

[juzef]

Wydaje mi się, że w swoim rozwiązaniu założyłeś, że sznurek styka się z dokładnie połową każdego okręgu. Nie jestem pewien czy tak jest. Przydałoby się jakieś uzasadnienie.

[black_ozzy]

Hmmm.... no tak włąśnie założyłem, ale chyba masz racje... tak by było gdyby te koła były jednakowe

[ Dodano: Pon Lip 25, 2005 11:13 pm ]
No ale z 2 strony to na dużym kółku jest troszke wiecej tego sznurka, a na mniejszym troche mniej. Wiec moze te troche są takie same. Ale togo to ja nie weim, nie mam aż takiej wyobraźni albo doświadczenia.

[W_Zygmunt]

Z podobieństwa
\(\displaystyle{ \bigtriangleup ABP}\) i \(\displaystyle{ \bigtriangleup BNP}\)
mamay
\(\displaystyle{ \frac{R}{ l + u }\,=\,\frac{r}{u}}\) i wyznaczamy "u".
Oznaczjąc miarę
\(\displaystyle{ \angle MAP}\) przez \(\displaystyle{ \alpha}\)
otrzymamy
\(\displaystyle{ \cos(\alpha )\,=\,\frac{R}{ l + u }}\)
Długości łuków
\(\displaystyle{ \tau _{C1}\,=\, 2\cdot \pi R - 2\cdot \pi R\cdot \frac{ 2\cdot }{ 360^{o} }}\)
\(\displaystyle{ \tau _{C2}\,=\, 2\cdot \pi r\cdot \frac{ 2\cdot }{ 360^{o} }}\)
\(\displaystyle{ MN\,=\,MP - NP}\)

Mam nadzieję, że tyle wystarczy.

PS. Dla mnie to planimetriia.

[RobertN]

Z podobieństwa
\(\displaystyle{ \bigtriangleup ABP}\) i \(\displaystyle{ \bigtriangleup BNP}\)

W tym pierwszym chyba literówke zrobiłeś.

[W_Zygmunt]

Oczywiście, ma być :
„Z podobieństwa
\(\displaystyle{ \bigtriangleup AMP}\) i \(\displaystyle{ \bigtriangleup BNP}\)”
Ale nie tylko to, jeszcze
“ \(\displaystyle{ \cos(\alpha )\,=\,\frac{R}{ l + u }}\) ”
To są skutki pośpiechu.