Kwadrat

[Tys]

Jak wyznaczyć współrzędną B w kwadracie , jeżeli mamy dane współrzędną punktu C i A oraz punkt przecięcia się przekątnych?

[Moherowy]

chyba wystarczy wyznaczyć wektor CO (od punktu C do punktu przeciecia sie przekatnych) który bedzie równy wektorowi OB i dodac do siebie wspolrzedne p. O i ten wektor

[Lady Tilly]

Możesz również skorzystać z iloczynu skalarnego wektorów. Nie trudno zauważyć, że obie przekątne pzrecinają się w kwadracie pod katem prostym. Możesz skorzystać z twierdzenia: dwa niezerowe wektory są prostopadłe, gdy kąt między ich kierunkami jest kątem prostym, a wtedy ich iloczyn skalarny jest równy zero. Masz więc dwie pary takich wektorów: \(\displaystyle{ \vec{OA}}\) i \(\displaystyle{ \vec{OB}}\) oraz druga para wektorów prostopadłych to \(\displaystyle{ \vec{OC}}\) i wektor \(\displaystyle{ \vec{OB}}\)

[black_ozzy]

Ja jako, że nie lubie posługiwać sie wektorami zrobilbym to tak. Wyznaczam odległość środka i wierzchołka (taka sama dla każdego wierzchołka) ze wzoru \(\displaystyle{ (|AO|)^{2}\,=\, (x_{A} - x_{O})^{2} + (y_{A} - y_{O})^{2}}\), teraz równanie prostej przechodzącej pzrez 2 punkty, ja to robie tak że podstawaim pod równanie ogólne prostej \(\displaystyle{ y\,=\,ax + b}\), za x i y podstawaim współrzędne punktów, mam układ równan i wyliczamy a i b. Teraz wyznaczam prostą prostopadłą (w której zawiera się 2 przekątna). Przypominam, Że jeżeli mam prostą o równaniu \(\displaystyle{ y\,=\,m_{1}x + n_{1}}\), to równanie prostej ma postać \(\displaystyle{ y\,=\,m_{2}x + n_{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ m_{2}\,=\, - \frac{1}{m_{1}}}\), a \(\displaystyle{ n_{2}}\), otrzymuje po podstawianiu współrzędnych punktu (środka). Teraz do wzoru na odległość \(\displaystyle{ (|AO|)^{2}\,=\, (x_{A} - x_{O})^{2} + (y_{A} - y_{O})^{2}}\) podstawiamy odległość, którą wcześniej wyliczyliśmy i wspołrzędne punktu, mamy teraz równanie z 2 niewiadomymi, dlatego za \(\displaystyle{ y_{B}}\) podstawaimy równanie prostej (punkt B i O należą do jednej prostej, dlatego mamy \(\displaystyle{ y_{b}\,=\,ax_{B} + b}\)). Rozwiązyujemy funkcje kwadratową i otrzymujemy dwa x, jeden to \(\displaystyle{ x_{B}}\)a drugie to \(\displaystyle{ x_{D}}\), I do równanie prostej podstawaimy otrzymane x otrzymujac \(\displaystyle{ y_{B}}\) i \(\displaystyle{ y_{D}}\) czyli nasze współrzędne.

Wiem że jest to dość długi sposób ale ja nie lubie wektorów i dlatego tak to robię. Mam nadzieje, że ktoś moją wypowiedz zrozumie, bo troszku tu namieszałem

Pozdrawaim

[Tys]

Moherowy:
Wydaje mi sie że wiem o co Ci chodzi tylko punkty A i C leza na tej samej przekątnej i jeżeli porównam wektor CO do wektora OB to wyjdzie mi wspólrzędna A a nie współrzedna B i z tego co wiem to te wektory , ktore podales chyba nie moga byc rowne bo wektory są równe jeżeli miedzy innymi są równległe.

karolina25:
Tutaj nie do końca rozumien co dalej z tymi wektorami

black_ozzy:
Tutaj raczej rozumiem, tylko faktycznie długaśny sposób.

[Moherowy]

fakt fakt, mój błąd, źle oznaczyłem kwadrat.
Ja bym wyznaczył długość wektora AC ze wzoru. Podzielił przez pierwiastek z dwóch - otrzymasz długość boku. Podstawiasz długość boku AB do wzoru na długość wektora i wychodzi Ci jedna niewiadoma bo współrzędne y-owe A i B sa takie same i obliczasz juz prosto.

[Lady Tilly]

Wydaje mi się, że z tymi wektorami to powinno być tak:
\(\displaystyle{ \vec{OA}=[u_{x}, u_{y}]}\) \(\displaystyle{ \vec{OB}=[v_{x}, v_{y}]}\)
\(\displaystyle{ O=(x_{O}, y_{O})}\)
\(\displaystyle{ A=(x_{A}, y_{A})}\)
\(\displaystyle{ B=(x_{B}, y_{B})}\)
\(\displaystyle{ u_{x}=(x_{A}-x_{O})}\) \(\displaystyle{ u_{y}=(y_{A}-y_{O})}\)
\(\displaystyle{ v_{x}=(x_{B}-x_{O})}\) \(\displaystyle{ v_{y}=(y_{B}-y_{O})}\)
Dalej iloczyn skalarny przyrównujemy do zera:
\(\displaystyle{ \vec{OA}\circ\vec{OB}=u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}=0}\)
podobnie postępujesz z parą wektorów \(\displaystyle{ \vec{OC}}\) i \(\displaystyle{ \vec{OB}}\) masz dwie niewiadome więc powstaje Ci układ równań, który musisz rozwiązać.

[Tys]

Moherowy:
Dlaczego uwazasz ,żę y-owe A i B sa takie same ?? Chyba nie musi tak byc i do tego raczej nie jest.

[Moherowy]

przepraszam, przepraszam ja nie wiem jaki cudem nieźle zdałem maturę z matmy. Narysowałem najzwyczajniejszy kwadrat w ukladzie wspolrzednych jaki byłem sobie w stanie wyobrazić. Więcej nie będę się udzielać jesli nie bede pewny rozwiazania.

[Tys]

Spokojnie Poprostu ja narysowałem układ współrzędnych i umieściłem tam A i C oraz punkt przecięcia się przekątnych i chcąc stworzyć kwadrat widze ,że współrzędne y nie sa takie same. Pozdrawiam