Wyznacz długości boków trójkąta
-
Tys
- Użytkownik
- Posty: 172
- Rejestracja: 12 kwie 2005, o 15:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 12 razy
Wyznacz długości boków trójkąta
Wyznacz długości boków trójkąta wiedząc, że są one kolejnymi liczbami naturalnymi zaś największy kąt wewnetrzny jest o dwa razy większy od kąta najmniejszego.
-
Lady Tilly
- Użytkownik
- Posty: 3807
- Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: nie wiadomo
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 712 razy
Wyznacz długości boków trójkąta
Oznaczając boki trójkąta następująco: a; a+1; a+2 i oznaczając kąty w taki sposób: \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ 2\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ (180-3\alpha)}\) korzystamy z twierdzenia sinusów w następujący sposób:
\(\displaystyle{ \frac{a}{sin\alpha}=\frac{a+2}{sin2\alpha}}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{a}{sin\alpha}=\frac{a+2}{2sin\alpha cos\alpha}}\) czyli \(\displaystyle{ 2a( cos\alpha)=a+2}\) a dalej \(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{a+2}{2a}}\) równocześnie zachodzi związek \(\displaystyle{ \frac{a}{sin\alpha}=\frac{a+1}{sin(180-3\alpha)}=\frac{a+1}{sin3\alpha}}\) po przekształceniach \(\displaystyle{ \frac{a}{sin\alpha}=\frac{a+1}{sin\alpha(4cos^{2}\alpha-1)}}\) pd dalszych przekształceniach \(\displaystyle{ 4cos^{2}\alpha-1=\frac{a+1}{a}}\) robimy podstawienie i wychodzi nam, że \(\displaystyle{ 4(\frac{a+2}{2a})^{2}-1=\frac{a+1}{a}}\) po kilku operacjach arytmetycznych otrzymujemy równanie kwadratowe:
-a�+3a+4=0, którego rozwiązaniami są dwie liczby 4 i -1. Drugą odrzucamy, bo długość nie może być liczbą ujemną i otrzymujemy, że trójkąt ma boki długości 4, 5, 6.
\(\displaystyle{ \frac{a}{sin\alpha}=\frac{a+2}{sin2\alpha}}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{a}{sin\alpha}=\frac{a+2}{2sin\alpha cos\alpha}}\) czyli \(\displaystyle{ 2a( cos\alpha)=a+2}\) a dalej \(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{a+2}{2a}}\) równocześnie zachodzi związek \(\displaystyle{ \frac{a}{sin\alpha}=\frac{a+1}{sin(180-3\alpha)}=\frac{a+1}{sin3\alpha}}\) po przekształceniach \(\displaystyle{ \frac{a}{sin\alpha}=\frac{a+1}{sin\alpha(4cos^{2}\alpha-1)}}\) pd dalszych przekształceniach \(\displaystyle{ 4cos^{2}\alpha-1=\frac{a+1}{a}}\) robimy podstawienie i wychodzi nam, że \(\displaystyle{ 4(\frac{a+2}{2a})^{2}-1=\frac{a+1}{a}}\) po kilku operacjach arytmetycznych otrzymujemy równanie kwadratowe:
-a�+3a+4=0, którego rozwiązaniami są dwie liczby 4 i -1. Drugą odrzucamy, bo długość nie może być liczbą ujemną i otrzymujemy, że trójkąt ma boki długości 4, 5, 6.