udowodnij, że średnica okręgu...

[czarnulka89]

Udowodnij, że średnica okręgu, wpisanego w trapez równoramienny, ma długość równą średniej geometrycznej długości podstaw trapezu.

prosze o pomoc

[Brzytwa]

Oznaczmy sobie gówną podstawę przez b oraz dolną przez a. Bez straty ogólności przyjmijmy \(\displaystyle{ a qslant b}\). Ramiona tego trapezu są równe \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}}\), gdyż wiemy, iż da się wpisać okrąg w ten trapez. Opuszczając wysokoś z dowolnego wierzchołka przy górnej podstawie otrzymujemy trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest ramię trapezu. Przyprostokątnymi są z kolei wysokość i odcinek o długości \(\displaystyle{ \frac{a-b}{2}}\). Zatem z tw. Pitagorasa otrzymujesz: \(\displaystyle{ h^{2}+(\frac{a-b}{2})^{2}=(\frac{a+b}{2})^{2}}\) skąd otrzymujesz \(\displaystyle{ h= 2\sqrt{ab}}\) czyli \(\displaystyle{ r=\sqrt{ab}}\). c.b.d.o.

[czarnulka89]

chyba \(\displaystyle{ h=\sqrt{ab}}\) ??
ale dzieki