Mamy kwadrat ABCD i dowolny punkt P, który znajduje się we wnętrzu tego kwadratu. Udowodnij, że środki ciężkości trójkątów ABP, BCP, CDP, DAP tworzą kwadrat o stałym polu.
Wykazałem to analitycznie, ale interesuje mnie inny sposób. Z góry dziękuję za wszelkie choćby pomysły.
Udowodnij, że kwadrat ma stałe pole
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Udowodnij, że kwadrat ma stałe pole
Niech \(\displaystyle{ E}\) będzie środkiem \(\displaystyle{ AB}\), a \(\displaystyle{ F}\) środkiem \(\displaystyle{ BC}\), niech ponadto \(\displaystyle{ K}\) będzie środkiem ciężkości \(\displaystyle{ ABP}\), a \(\displaystyle{ L}\) środkiem ciężkości \(\displaystyle{ BCP}\). Zauważmy, że skoro środkowe w trójkącie przecinają się w stosunku dwa do jednego, to \(\displaystyle{ PK:PE=PL:PF=2:3}\), a zatem z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa dostajemy, że \(\displaystyle{ EF}\) i \(\displaystyle{ KL}\) są równoległe, a ponadto ten drugi odcinek to dwie trzecie pierwszego. Ergo: pola naszego kwadratu to dwie dziewiąte pola całego kwadratu.
(pisałem bez rysunku, mam nadzieję, że nie trzasnąłem się w oznaczeniach i proporcjach)
Q.
(pisałem bez rysunku, mam nadzieję, że nie trzasnąłem się w oznaczeniach i proporcjach)
Q.