Długosci boków trojkąta

[wecherek89]

Długosci boków trojkąta prostokątnego są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego. Oblicz iloraz tego ciągu.

[mol_ksiazkowy]

Analiza � Ciąg arytmetyczny i geometryczny � Wyznacz ciąg (suma trzech liczb ciągu i iloczyn)
autor= ŚwIeRsZcZ

[JankoS]

a - długość najkrótszego boku, q - iloraz ciągu. Wtedy boki są\(\displaystyle{ a, aq, aq ^{2}}\). Z twierdzenia Pitagorasa \(\displaystyle{ a ^{2}+(aq) ^{2}=(aq ^{2}) ^{2} a ^{2}+a ^{2}q ^{2}=a ^{2 }q ^{4} q ^{4}-q ^{2}-1=0}\). Podstawiam \(\displaystyle{ t=q ^{2} qslant 0}\).
\(\displaystyle{ t ^{2}-t-1=0, \ \Delta=1+4=( \sqrt{5}) ^{2}, \ t _{1}=\frac{1- \sqrt{5}}{2}0}\).
Pozostaje wyznaczyć q.

[wecherek89]

Dzieki ale według mnie to jest troche inny przykład. NIestety nie potrafie tego zrobic

[ Dodano: 2 Kwietnia 2008, 00:26 ]
OJ dzieki Jankos nie zauwazylam Ciebie;)

[dee_jay]

a - długość najkrótszego boku, q - iloraz ciągu. Wtedy boki są\(\displaystyle{ a, aq, aq ^{2}}\). Z twierdzenia Pitagorasa \(\displaystyle{ a ^{2}+(aq) ^{2}=(aq ^{2}) ^{2} \rightarrow a ^{2}+a ^{2}q ^{2}=a ^{2 }q ^{4} \rightarrow q ^{4}-q ^{2}-1=0}\). Podstawiam \(\displaystyle{ t=q ^{2} \geqslant 0}\).
\(\displaystyle{ t ^{2}-t-1=0, \ \Delta=1+4=( \sqrt{5}) ^{2}, \ t _{1}=\frac{1- \sqrt{5}}{2}0}\).
Pozostaje wyznaczyć q.

\(\displaystyle{ t _{1}=\frac{1+ \sqrt{5}}{2}}\)

\(\displaystyle{ q= \sqrt{\frac{1+ \sqrt{5}}{2}}}\)

jeszcze dla pewności założenia: ciąg jest rosnący i boki>0 \(\displaystyle{ \Rightarrow q \in (1,+niesk)}\)
czyli zgadza się;d